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Exercice sur les complexes
Bonjour !
Voici l'énnoncé de mon problème.
Le plan complexe est rapporté à un ROND (O,u,v)
Soient A, B et C d'affixes respectives i, 1+i et -1+i.
Soit f l'application qui, à tout point M du plan différnet de A, d'affixe z, associe le point M' du plan d'affixe z' = (iz+2) / (z-i)
1) Déterminer les images de B et de C par l'application f.
2) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation : (z'-i)(z-i)=1.
3) Soit D le point d'affixe 1+2i. Placer A,B,C et D sur une figure.
Déduire de la question précédente une construction du point D', image du point D par l'application f.
Voila.
QUESTION 1) je trouve que l'image de B est B car en remplaçant dans f z par 1+i, après calcul je trouve 1+i, et de même pour le point C.
Je trouve ça étrange. Est-ce juste ou non ?
QUESTION 2) pas de pb
QUESTION 3) je ne vois pas me lien entre ce que je viens de démontrer à la question 2 et ce qu'on me demande en 3). Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci beaucoup à qui pourra m'aider. Je ne demande évidemment pas qu'on me fasse l'exercice mais qu'on me donne quelques pistes.
MERCI !!
bonsoir AliceInWoo
tout d'abord je voudrais vous faire partager la remarque suivante:
f(-zbar)=(i(-zbar)+2)/(-zbar-i)
= -(iz+2)bar/(z-i)bar
= -[(iz+2)/(z-i)]bar
= - f(z)bar
ceci étant pour f(b)=b b=1+i vous avez juste.
maintenant remarquez que c=-1+i=-bbar
donc f(c)=f(-bbar)=-f(b)bar=-bbar=c
vous avez juste et il n'ya rien d'étrange.
2) pas de problème vous savez faire.
3) d=1+2i=a+b
de la relation (z'-i)(z-i)=1 vous déduisez que:
arg(z'-i)+arg(z-i)=0 (2Pi)
comme arg(z'-i)=(OA,OM') et arg(z-i)=(OA,OM)
donc (OA,OM')= - (OA,OM)
vous déduisez que M' apprtient à droite symétrique de OM par rapport à l'axe Oy.
il reste à trouvez une autre propriété de M' pour cherche l'intersection de cette droite avec l'ensemble caractéristique de la deuxième propriété que vous avez à charcher.
je vous laisse chercher. 2 indications:
f(-zbar)=- f(z)bar et d-i=b avec B invariant par f.
bon courage
halte la!!
En fait je n'ai pas encore avordé la notion d'arguments et notre professeur de maths nous a assuré qu'il n'y en avait pas besoin.
Peut-on résoudre ce la sans les arguments !?
Bonsoir.
En fait, to professeur essaie de te faire le lien entre les opérations dans C et les transformations du plan.
Par exemple, z+i revient à une translation de Z (d'affixe z) de 1 unité vers le haut. De même, z-i est une translation de 1 unité vers le bas, z+1 une translation de 1 unité vers la droite et z-1 une translation de 1 unité vers la gauche.
Le passage à l'inverse se résume en la composée de deux transformations : une symétrie orthogonale d'axe Ox suivie d'une homothétie de centre O et de rapport 1/mod(z)^2 car 1/z=zbar/(z*zbar)=1/mod(z)^2.
Revenons alors à l'exercice : (f(z)-i)(z-i)=1.
Donc f(z)-i est l'inverse de (z-i). Pour trouver f(z) tu dois alors ajouter i.
Les transformations sur D donnent : D->B (translation de 1 unité vers le bas), B->B' (B' sym. de B par rapport à Ox), B'->B" (B" est le milieu de [OB'] car mod(Z)^2=2) et enfin B"->D' par une trnaslation de 1 unité vers le haut : c'est le milieu de [OB].
Donc D a pour image D', milieu de [OB]... et le tour est joué.
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