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Niveau terminale
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Exercice sur les complexes

Posté par AliceInWoo (invité) 21-12-04 à 19:04

Bonjour !
Voici l'énnoncé de mon problème.

Le plan complexe est rapporté à un ROND (O,u,v)
Soient A, B et C d'affixes respectives i, 1+i et -1+i.
Soit f l'application qui, à tout point M du plan différnet de A, d'affixe z, associe le point M' du plan d'affixe z' = (iz+2) / (z-i)

1) Déterminer les images de B et de C par l'application f.

2) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation : (z'-i)(z-i)=1.

3) Soit D le point d'affixe 1+2i. Placer A,B,C et D sur une figure.
Déduire de la question précédente une construction du point D', image du point D par l'application f.


Voila.
QUESTION 1) je trouve que l'image de B est B car en remplaçant dans f z par 1+i, après calcul je trouve 1+i, et de même pour le point C.
Je trouve ça étrange. Est-ce juste ou non ?

QUESTION 2) pas de pb

QUESTION 3) je ne vois pas me lien entre ce que je viens de démontrer à la question 2 et ce qu'on me demande en 3). Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci beaucoup à qui pourra m'aider. Je ne demande évidemment pas qu'on me fasse l'exercice mais qu'on me donne quelques pistes.

MERCI !!

Posté par
watik
re : Exercice sur les complexes 21-12-04 à 19:57

bonsoir AliceInWoo

tout d'abord je voudrais vous faire partager la remarque suivante:

f(-zbar)=(i(-zbar)+2)/(-zbar-i)
        = -(iz+2)bar/(z-i)bar
        = -[(iz+2)/(z-i)]bar
        = - f(z)bar

ceci étant pour f(b)=b  b=1+i vous avez juste.

maintenant remarquez que c=-1+i=-bbar

donc f(c)=f(-bbar)=-f(b)bar=-bbar=c

vous avez juste et il n'ya rien d'étrange.

2) pas de problème vous savez faire.

3) d=1+2i=a+b

de la relation (z'-i)(z-i)=1 vous déduisez que:

arg(z'-i)+arg(z-i)=0 (2Pi)

comme arg(z'-i)=(OA,OM') et arg(z-i)=(OA,OM)

donc (OA,OM')= - (OA,OM)

vous déduisez que M' apprtient à droite symétrique de OM par rapport à l'axe Oy.

il reste à trouvez une autre propriété de M' pour cherche l'intersection de cette droite avec l'ensemble caractéristique de la deuxième propriété que vous avez à charcher.

je vous laisse chercher. 2 indications:

f(-zbar)=- f(z)bar et d-i=b avec B invariant par f.
bon courage


Posté par AliceInWoo (invité)re : Exercice sur les complexes 21-12-04 à 20:01

halte la!!
En fait je n'ai pas encore avordé la notion d'arguments et notre professeur de maths nous a assuré qu'il n'y en avait pas besoin.

Peut-on résoudre ce la sans les arguments !?

Posté par
ma_cor
Re exercice sur les complexes 21-12-04 à 22:10

Bonsoir.
En fait, to professeur essaie de te faire le lien entre les opérations dans C et les transformations du plan.
Par exemple, z+i revient à une translation de Z (d'affixe z) de 1 unité vers le haut.  De même, z-i est une translation de 1 unité vers le bas, z+1 une translation de 1 unité vers la droite et z-1 une translation de 1 unité vers la gauche.
Le passage à l'inverse se résume en la composée de deux transformations : une symétrie orthogonale d'axe Ox suivie d'une homothétie de centre O et de rapport 1/mod(z)^2 car 1/z=zbar/(z*zbar)=1/mod(z)^2.
Revenons alors à l'exercice : (f(z)-i)(z-i)=1.
Donc f(z)-i est l'inverse de (z-i).  Pour trouver f(z) tu dois alors ajouter i.
Les transformations sur D donnent : D->B (translation de 1 unité vers le bas), B->B' (B' sym. de B par rapport à Ox), B'->B" (B" est le milieu de [OB'] car mod(Z)^2=2) et enfin B"->D' par une trnaslation de 1 unité vers le haut : c'est le milieu de [OB].
Donc D a pour image D', milieu de [OB]... et le tour est joué.

Posté par
watik
re : Exercice sur les complexes 22-12-04 à 09:41

bonjour AliceInWoo

a vos ordres je m'arrête

bon courage



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