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Niveau terminale
exercice sur produit scalaire dans l'espace
Posté par bipsie
Bonjours à tous! J'ai un problème avec un exercice de maths que je n'arrive vraiment pas à résoudre, si quelqu'un pouvait m'aider, je lui en serais vraiment reconnaissante...
donc voilà l'énoncé: l 'espace est rapporté à un repère orthonormal (O,i,j,k). Les points A, B, C ont pour coordonnées A(3,-2,2), B(6,1,5), et C(6,-2,-1).
A)1)Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle ( ça c'est facile, je n'ais pas eu de souci et j'ai trouvé que le triangle était rectangle en A)
2)Soit P le plan d'équation cartésienne: x+y+z-3= 0.
Prouver que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A. ( c'est à partir de là que je bloque! je me suis dit que, pour prouver que P soit orthogonal à (AB), il faut prouver que le vecteur normal de P, n(1,1,1) doit être orthogonal à (AB) donc: n.AB=0 le problème c'est que je trouveque n.AB= 9 ! ce qui n'a pas de sens!)
3)Soit P' le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A.Déterminer une équation cartésienne de P'. (là je ne voix pas vraiment ce qu'il faut faire, même si je me doute qu'il faut se servir de la réponse à la question d'avant pour y arriver!)
4)Déterminer un vecteur directeur de la droite delta intersection des plans P etP' (c'est de pire en pire!!)
B)1)Soit D le point de coordonné (0,4-1). Prouver que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) ( j'ai fait (ce sont des vecteurs):
AB.AC doit être égal à 0 pour le prouver mais le problème c'est que je n'obtient pas 0 en faisant ce calcul!!)
2)Calculer le volume du tétraède ABCD. (là je suis vraiment désèspérée!!)
3)Prouver que l'angle (BCD) a pour mesure pi/4 radian
4) Calculer l'aire du triangle BCD et déduisez en la distance du point A au plan (BCD). si quelqu'un pouvais m'aider....
Bonjour Bipsie,
2) Pour que le plan (P) soit orthogonal à (AB), il faut et il suffit qu'un vecteur normal à (P) soit parallèle à un vecteur directeur de (AB), évidemment !
3) indépendante de 2) : (P') a pour vecteur normal un vecteur directeur de (AC) et passe en outre par A ; on peut aussi chercher le lieu des points M tels que .
Bonjours, désolé de ne répondre que maintenant mais je viens juste de lire le message.
Pour le 2)(je sais que je vais passer pour une bête mais bon tampi!) je ne me souviens plus comment calculer le vecteur directeur d'une droite et je ne sais même plus ce que sa signifie!(gros trou de mémoire!) si vous pouviez m'éclairer un peu...
j'ai été sur le site. Si j'ai bien compris, le vecteur directeur de (AB) a les mêmes coordonnées que le vecteurs AB ?
et donc pour la question 2 il faut que je prouve que le vecteur normal n(1,1,1) est colinéaire au vecteur directeur v(3,3,3) et donc qu'ils sont parallèles.C'est bien ça?
ok, merci beaucoup!
par contre pour la question 3) puisque P' est le plan orthogonal à (AC)et passant par A et que P est orthogonal à (AB) et passe aussi par A alors nous pouvons dire que P' et P sont colinéaires. pour trouver l'équation cartésienne de P je suppose qu'il faut que je me serve de l'équation cartésienne de P sauf que je ne sait pas comment faire!
Vous avez une idée?
Bipsie,
On ne dit pas que deux plans sont colinéaires, et je ne vois même pas ce que tu voulais dire ici, où il est clair que (P) et (P') se coupent selon une droite qui passe par A : ils ne sont ni parallèles ni confondus, car justement leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
Pour le reste, voir mon message du 27-03-10.
a oui je crois que j'ai compris: donc: (tous sous forme de vecteurs) AM.AC=0 équivaut à (x-3)*3+(y+2)*0+(z-2)*(-3)=0 équivaut à 3x-9-3z+6=0 équivaut à 3x-3z-3=0 qui est l'équation de P' c'est bien ça?
ok and for the quotion four, (désolé mais je ne pourrais pas continuer longtemps an anglais!!
)je suppose qu'il faut se servir des vecteurs directeurs de P et de P'pour déterminer le vecteur directeur de delta. Le problème c'est que je ne voix pas comment faire!
Vous pouvez me mettre sur la bonne voix?
ou plutôt can you help me, please?
"je suppose qu'il faut se servir des vecteurs directeurs de P et de P'pour déterminer le vecteur directeur de delta" ...
Allez, on va dire que c'est une faute de frappe, et que tu voulais écrire "vecteurs normaux" (la "direction" d'un plan est donnée par un vecteur normal, ou par une paire de vecteurs directeurs non colinéaires, ce qui est plus coûteux et généralement moins efficace).
L'intersection de (P) et de (P') appartient à (P) : elle est donc perpendiculaire à un vecteur normal de (P) ; elle appartient aussi à (P') : elle est donc perpendiculaire à un vecteur normal de (P').
On aura donc un vecteur directeur de
en écrivant qu'il est perpendiculaire à un vecteur normal de (P) et à un vecteur normal de (P') : d'où deux équations suffisantes, si les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, pour déterminer
) à une constante multiplicative près.
à donc ça veut dire que si on pose: soit c(alfa,beta,gama) le vecteur directeur de delta, n(1,1,1) le vecteur normal de P et m(3,0,-3) le vecteur normal de P', alors: (tout en vecteur) c.n= alfa+beta+gama et c.m= 3 alfa- 3 gama.
Mais ensuite, pour obtenir le vecteur directeur de delta, on doit multiplié les deux équations entre elles, d'où c(3alfa- 3gama)non?
(je suis vraiment désolé de t'embêter avec cette exercice mais j'aimerais bien comprendre 
)
"(tout en vecteur) c.n= alfa+beta+gama et c.m= 3 alfa- 3 gama."
Oui, Bipsie, et ces deux produits scalaires sont nuls, puisque c
n et cm : d'où les deux équations dont je parlais, pour déterminer .