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Niveau terminale
Exercice sur Produits scalaires
Posté par Friit3
Bonjour, j'ai un second exercice sur les produits scalaires, par contre là je suis un peu plus bloqué que le précédent. Donc voici l'énoncé:
"Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles et rectangles en A avec AB=AC=AD=a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
1) Montrer que (AA1) est orthogonale au plan (BCD). On pourra par exemple calculer (vectAA1).(vectCD) et (vectAA1).(vectBC).
2) En exprimant de deux façons différentes le volume du trétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1] en fonction de a.
3) On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG en fonction de a.
b. Déterminer l'ensemble des points m de l'espace tels que:
||(vectMA)+(vectMB)+(vectMC)+(vectMD)|| = 2||(vectMB)+(vectMC)||.
4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.
a. Démontrer que 4(vectGA)+(vectAC)+(vectAD)=(vectBA).
b. Démontrer l'égalité HC²-HD²=(vectDC).(vectBA).
c. En déduire que HC=HD"
Donc je bloque déjà à la première question, pourtant simple &à ma portée.
Je me place dans (B;(vectBA);(vectBC);(vectBD))
Donc: B(0;0;0) A(1;0;0) C(0;1;0) D(0;0;1) A1(0;1/2;1/2)
(vectAA1)(-1;1/2;1/2) (vectCD)(0;-1;1) (vectBC)(0;1;0)
Donc en calculant (vectAA1).(vectCD) on trouve bien 0
Mais quand je fais le produit scalaire des vecteurs AA1 et BC je trouve 1/2.
Merci de m'aider 
bonjour
1)
tes difficultés viennent de ton ton choix du repère (B;(vectBA);(vectBC);(vectBD)) qui ne te simplifie pas les calcules
choisis plutôt (A,AB,AC,AD) car ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles et rectangles en A
dans ce repère B(a;0;0) C(0;a;0) et D(0;0;a)
A1(a/3;a/3;a/3)
CD(0;-a;a)
BC(-a;a;0)
tu calcules AA1.CD et AA1.BC et tu montres qu'ils sont nuls.
2)V=(1/3)surface(ABC)*AD tu calcul surface(ABC) puis V
V=(1/3)surface(BCD)*||AA1|| ; tu calcules surface(BCD) puis tu endéduis ||AA1||
3)4AG=AB+AC+AD car G isobarycentre de ABCD
AB+AC+AD=3AA1 car A1 isobarycentre de BCD
donc
4AG=3AA1 donc AG=(3/4)AA1 donc G appartient à la droite (AA1) comme 0<3/4<1 donc G appartient au segment [AA1]
de AG=(3/4)AA1 tu tires ||AG||=(3/4)||AA1||
tu a calculé ||AA1|| en 2) tu en déduis ||AG||
b)MA+MB+MC+MD=4MG et MN+MC=2MI donc
||MA+MB+MC+MD||=2||MN+MC|| ssi 4||MG||= 4||MI||
ssi ||MG||=||MI||
donc M est équidistant par rapport à G et à I tu concluts donc
4)a) G isobarycentre de ABCD donc 4AG=AB+AC+AD (déjà vue en 3b)
donc
-4AG+AC+AD=-AB
donc 4GA+AC+AD=BA
b)HC²-HD²=(HC-HD).(HC+HD)
=DC.(HC+HD)
=DC.(2HA+AC+AD) ; chasles
=DC.(4GA+AC+AD) ; car AH=2AG car G milieu de [AH] car H symétrique de A par rapport à G
=DC.BA ; d'après 4a)
c) DC(0;a;-a) et BA(-a;0;0)
donc DC.BA=(0)*(-a)+(a)*(0)+(-a)*(0)=0
donc
HC²-HD²=DC.BA=0
donc
||HC||=||HD||
H est équidistant de D et de C
H appartient donc au plan médiateur du segment [DC]