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exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe

Posté par khalido120 (invité) 24-12-07 à 13:28

bonjour à tt le monde

l'exercice est le suivant

l'intégrale de o à 2 de f(théta)

avec f(théta)=exp(cos(théta))*exp(i(n*théta-sin(théta))) avec n entier strictement positif

j'ai trouvé ceci difficile,o fait g utilisé le théorème des résidus aprés un changement de variable(z=exp(i*théta)) mais jme sui bloké à l'étape de calcul de résidu

pouvez vs m'aider?

é merci d'avance

Posté par
raymond Correcteurexercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:03

Bonjour.

Si je comprends bien l'énoncé :

3$\textrm f(t) = e^{cos(t)}.e^{int - isin(t)} = (e^{it})^n.e^{cos(t)-isin(t)}

3$\textrm z = e^{it} \Longrightarrow \ F(z) = z^n.e^{-z} , holomorphe et sans pôle.

Si l'on intègre sur le cercle unité, l'intégrale est nulle.

Posté par
Tigweg Correcteurre : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:08

Bonjour

raymond>C'est plutôt 4$z^n.e^{\overline z}, non?
Cette fonction est-elle vraiment holomrphe?
J'ai un doute, l'application de conjugaison ne l'étant pas...


Tigweg

Posté par
raymond Correcteurexercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:09

Désolé, erreur de ma part.

f(z) = 3$\textrm F(z) = z^n.e^{1/z}

Donc singularité en z = 0.

En prenant le développement de Laurent de e1/z, le résidu sera : 3$\textrm\fra{1}{(n+1)!}

Posté par
Tigweg Correcteurre : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:17

Ah oui tout-à fait, j'oubliais qu'on était sur le cercle-unité!

Posté par khalido120 (invité)re : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:40

raymond peut tu m'ecrire le développement de Laurent de e1/z?

Posté par
raymond Correcteurre : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 24-12-07 à 14:47

C'est celui de eZ, avec Z =1/z

Posté par khalido120 (invité)re : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 17:15

salut tt le monde

raymond,t'as di ke le résultat de l'intégral c'est 1/(n+1)!

tu peux m'expliquer d'ou t'as eu le résultat?


é merci d'avance

Posté par
ottore : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 17:39

Bonjour,
c'est très agaçant de te voir écrire n'importe comment, fais un effort s'il te plait.

Pour le résultat de l'intégrale, il suffit de calculer le résidu et de le multiplier par 2iPi.
Raymond n'a pas calculé l'intégrale mais le résidu.
Et il a surement calculé le résidu en calculant la série de Laurent comme il l'a annoncé.

Posté par khalido120 (invité)re : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 17:41

mais je trouve pas la relation entre laurent et le résidu?
est qu'on peut trouver le résidu à partir de la série de laurent?

Posté par
ottore : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 17:43

Bien sur, c'est même la définition du résidu. C'est le coefficient devant la puissance -1 de (z-z_o)

Posté par khalido120 (invité)re : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 17:47

donc si j'écri le dvlp en série de laurent de exp(1/z) je doi prendre le k=-1(k étant l'indice de la série) pour trouver le résidu?

Posté par
raymond Correcteurre : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 20:22

Reprenons du début.

On doit calculer 3$\textrm I_n = \Bigint_0^{2\pi}e^{cos(t)}.e^{i(nt-sin(t))}dt avec n > 0

Pour cela, considérons la fonction F définie sur C* par :

3$\textrm F(z) = z^{n-1}e^{\fra{1}{z}}

Soit C le cercle de centre O de rayon 1. Il est paramétré par t ---> exp(it) t 2$\in[0,2\pi]

Alors :

3$\textrm\Bigint_C F(z)dz = \Bigint_0^{2\pi}e^{i(n-1)t}e^{e^{-it}}\times i.e^{it}dt = i\Bigint_0^{2\pi}e^{int}e^{cos(t)-isin(t)}dt = i\times I_n

Par le théorème des résidus : 3$\textrm\Bigint_C F(z)dz = 2i\pi Res(F,0)

Développons F en série de Laurent :

3$\textrm F(z) = z^{n-1}(1 + \fra{1}{z} + ... + \fra{1}{n!z^n} + ....)

Le coefficient du terme en 1/z est donc : 3$\fra{1}{n!}

Donc : 3$\textrm i\times I_n = \fra{2i\pi}{n!}

4$\textrm\fbox{I_n = \fra{2\pi}{n!}}

Posté par khalido120 (invité)re : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 23:05

merci raymond c gentil donc l'astuce c'étai de remplacer exp(1/z) par son dvlp en série de laurent
merci bcq

Posté par
raymond Correcteurre : exercice utilisant les propriétés d'analyse complexe 28-12-07 à 23:25

Tu as remarqué que dans mes premiers topics j'avais pris F(z) = zn.exp(1/z) sans faire le calcul.
Finalement, c'était F(z) = zn-1.exp(1/z) qui convenait.
Comme quoi, toujours faire les calculs jusqu'au bout.

A plus RR.


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