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exercices complexes

Posté par
celine123 18-05-18 à 01:36

Bonjour,

Il y a quelques passages que je ne comprends pas dans 3 exercices de complexe.

1) déterminer toutes les racines complexes de :
z^4 = (16racine de 2) / 1 - i

on obtient : z= 2* e^{i((pi + 8kpi)/(16))}
à ce moment là on utilise k=0,1,2 et 3 pour donner les réponses finales, pourquoi ?

2)si on désigne par i^1/2 les racines carrées de i, déterminer Ie^i(1/2)
là je ne comprends pas la méthode qu'il faut utiliser, même avec le correctif je suis perdue.

3) Déterminer toutes les racines complexes de z² -2iz +2 =4i
Ici on fait le delta, on obtiens -> -12 +16i
après ça je ne comprends pas comment arriver au résultat final.

Voilà merci d'avance pour vos réponses .

Posté par re : exercices complexes 18-05-18 à 07:37

Bonjour,

Pour la première question, si on pose $z=\left[\rho,\theta \right]$ alors $z^4=\left[\rho^4,4\theta \right]$

Par ailleurs
$\left\lbrace\begin{matrix} \left|\dfrac{16\sqrt 2}{1-i} \right|=\dfrac{16\sqrt 2}{\sqrt 2}=16\\ \arg \left(\dfrac{16\sqrt 2}{1-i} \right)=\arg(16\sqrt 2) - \arg(1-i)=\dfrac{\pi }{4} \end{matrix}\right.$

Donc $\left\lbrace\begin{matrix} \rho^4=16\\ 4\theta=\dfrac{\pi }{4} \end{matrix}\right.$

On en déduit $\left\lbrace\begin{matrix} \rho=2\\ \theta=\dfrac{\pi }{16}+k\dfrac{\pi }{2} \end{matrix}\right.$

On ne retient que les valeurs de k égales à 0, 1, 2 et 3 car, à partir de k=4, on retrouve les mêmes arguments modulo 2.

Pour la question 2), il faut utiliser la propriété $\arg(iz)=\arg(i)+\arg(z)=\arg(z)+\dfrac{\pi}{2}$ ainsi que la propriété $e^{i\frac 1 2}=e^i\times e^{\frac 1 2}$

Posté par re : exercices complexes 18-05-18 à 07:41

J'ai oublié quelques chose dans mon texte :

Donc $\left\lbrace\begin{matrix} \rho^4=16\\ 4\theta=\dfrac{\pi }{4}+\red{k2\pi} \end{matrix}\right.$

Posté par re : exercices complexes 18-05-18 à 07:53

Bonjour,
pour le 3)

$\Delta=-12+16i=4(-3+4i)=2^2(1+2i)^2$

Posté par re : exercices complexes 18-05-18 à 09:01

salut

Citation :
3) Déterminer toutes les racines complexes de z2 -2iz +2 =4i
Ici on fait le delta, on obtient -> -12 +16i
après ça je ne comprends pas comment arriver au résultat final.

les machines font, les hommes calculent

et il aurait été bien de nous donner la suites pour savoir ce que tu ne comprends pas !!!

il seraient bien comprendre que l'on travaille comme dans R et qu'il y a une identité remarquable fondamentale qui permet de factoriser et avoir des racines $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

et que dans C c'est même valable avec un + puisque $a^2 + b^2 = a^2 - (ib)^2 = (a - ib)(a + ib)$

c'est d'ailleurs ce qui justifie que dans C on a toujours des racines ...

$z^2 - 2iz + 2 - 4i = (z - i)^2 + 3 - 4i$

il nous faut donc écrire 3 - 4i comme un carré ...

si on suppose qu'on travaille avec des valeurs simples (des entiers) alors les identités remarquables $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ nous permettent d'écrire immédiatement

$3 - 4i = 4 - 1 - 4i = 2 - 2 * 2 * i + i^2 = (2 - i)^2$

il vient alors trivialement que $z^2 - 2iz + 2 - 4i = (z - i)^2 + 3 - 4i = (z - i)^2 + (2 - i)^2 = (z - i)^2 - (1 - 2i)^2 = ...$

Citation :
2)si on désigne par i^(1/2) les racines carrées de i, déterminer Ie^[i(1/2)]
là je ne comprends pas la méthode qu'il faut utiliser, même avec le correctif je suis perdue.

ça n'a pas de sens : on choisit donc laquelle quand on écrit i^(1/2)

par contre quand on écrit proprement on écrit :

soit w un complexe dont le carré est i
déterminer e^w

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