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Niveau terminale
Exercices démo
Posté par Night13
Bonjour,
J'ai cet exercice à faire :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Montrer que si a/b et b/a alors a = b et a = -b
Apparemment il faut commencer par :
Si a/b et b/a, alors il existe deux entiers relatifs a' et b' tels que :
b = a b' et a = b a'
donc a = a b' a'
1 = b' a'
Mais j'avoue que je ne comprends pas trop dès le début. Si vous pourriez un peu expliquer, ça m'aiderait beaucoup, merci
Déjà j'ai mis un "et" à la place du "ou" : Donc : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Montrer que si a/b et b/a alors a = b ou a = -b.
Mais sinon c'est ce que j'ai écrit dans mon cahier :/
salut
alors tu as mal recopié ...
Night13 @ 04-09-2023 à 18:34
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Montrer que si a/b et b/a alors a = b ou a = -b.
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Montrer que si a/b et b/a alors a = b ou a = -b.
ce qu'il y a entre le si et le alors et ce qui suit le alors doivent être des propositions (ou phrase) et dans la première il n'y a pas de verbe donc ce ne peut être une proposition
dans la deuxième il y a bien un verbe
Je vois. La formulation correcte serait : Montrer que si a/b et b/a sont entiers alors a = b et a = -b
plutôt que d'utiliser des primes utilise plutôt les lettres p et q : c'est plus lisible
ben n'est-ce pas la définition ?
si la fraction a/b est entière alors il existe un entier p tel que a/b = p
et idem avec b/a = q
ce début de raisonnement n'est que la traduction mathématique des hypothèses pour pouvoir mieux les manipuler
on a donc (je reprends ce que tu as écrit) :
a = bp
b = aq
donc ab = pqab
(il faut justifier proprement chaque étape bien sûr !!)
donc pq = 1
ne sais-tu pas déterminer deux entiers relatifs dont le produit est 1 ?
Je vais m'y repencher dans une trentaine de minutes, je vais voir si je comprends mieux avec votre explication
Alors pour les primes, c'est mon professeur qui les a utilisés, donc je préfère faire pareil (même si ça revient au même bien sûr que d'utiliser les lettres).
Dans mon cours j'ai : Soient a et d deux entiers relatifs avec d non nul. Dire que d divise a signifie qu'il existe un entier relatif k tel que a = dk. Mais ça revient au même que a/b = p car par un produit en croix, on trouve a = bp, si je ne me trompe pas.
Je vois à peu près. Donc quand j'ai écrit a = ab'a', j'aurais dû écrire ab = ab'a' ? Je suis un peu perdue car ça ne correspond pas à ce que j'ai écrit.
Je ne comprends pas comment on sait que pq = 1.
Deux etiers relatifs dont le produit est 1 sont simplement :
1 et 1 :
-1 et -1 ?
Peut-être qu'il me manque / que j'ai oublié certaines bases pour pouvoir réussir ce genre d'exercices, alors pourriez-vous m'indiquer ce que je devrai revoir ?
notre site rame complètement ce soir
les informaticiens sont prévenus
je tente une réponse
Citation :
Deux etiers relatifs dont le produit est 1 sont simplement :
1 et 1 :
-1 et -1 ?
Deux etiers relatifs dont le produit est 1 sont simplement :
1 et 1 :
-1 et -1 ?
oui c'est ça et si tu remplaces dans a=bp ou dans b=aq tu trouves bien que soit a=b soit a=-b
Night13 @ 04-09-2023 à 20:36
Alors pour les primes, c'est mon professeur qui les a utilisés, donc je préfère faire pareil (même si ça revient au même bien sûr que d'utiliser les lettres).
si tu ne sais pas prendre du recul par rapport aux lettres qui ne sont que des notations d'objets formels ayant certaines propriétés mathématiques alors je pense que tu auras certaines difficultés en math
Alors pour les primes, c'est mon professeur qui les a utilisés, donc je préfère faire pareil (même si ça revient au même bien sûr que d'utiliser les lettres).
Night13 @ 04-09-2023 à 20:36
Je vois à peu près. Donc quand j'ai écrit a = ab'a', j'aurais dû écrire ab = ab'a' ? Je suis un peu perdue car ça ne correspond pas à ce que j'ai écrit.
non tu as raison (a = ab'a') mais d'un point de vu esthétique et pour respecter une certaine symétrie entre les deux lettres (a et b désignant des objets "nombres relatifs") je préfère écrire :
Je vois à peu près. Donc quand j'ai écrit a = ab'a', j'aurais dû écrire ab = ab'a' ? Je suis un peu perdue car ça ne correspond pas à ce que j'ai écrit.
a = bp
b = aq
et multiplier ces deux inégalités entre elles (cours de collège) pour obtenir ab = abpq
Night13 @ 04-09-2023 à 20:36
Je ne comprends pas comment on sait que pq = 1.
Je ne comprends pas comment on sait que pq = 1.
ensuite ce passage à pq = 1 s'obtient à partir de règles vu en collège et utilise une hypothèse d l'énoncé dont tu ne t'es pas servi
je te laisse réfléchir un peu et reviendrai plus tard
Je ne comprends toujours pas comment on passe de a = ba' à a = ab'a'. Je ne vois pas trop l'utilité de cette étape, c'est comme si les deux expressions n'avaient rien à voir ?
Par contre oui je comprends comment on passe de a = bp et b = aq à ab = abpq.
Citation :
ensuite ce passage à pq = 1 s'obtient à partir de règles vu en collège et utilise une hypothèse d l'énoncé dont tu ne t'es pas servi
ensuite ce passage à pq = 1 s'obtient à partir de règles vu en collège et utilise une hypothèse d l'énoncé dont tu ne t'es pas servi
J'ai oublié ces règles ou du moins ça ne me vient pas comme ça face à cet exercice. Quoique..peut-être que pour que ab = abpq soit vraie, il existe deux possibilités :
soit p = 1 et q = 1, donc leur produit est égal à 1
soit p = -1 et q = -1, donc leur produit est égal à 1.
Citation :
Je ne comprends toujours pas comment on passe de a = ba' à a = ab'a'.
Je ne comprends toujours pas comment on passe de a = ba' à a = ab'a'.
tu as écrit dans ton premier message que
b = a b' et a = b a'
cela donne
a=ab' a'
ensuite quand tu as ab = abpq et que tu veux pq, que fais-tu réellement ?
Citation :
tu as écrit dans ton premier message que
b = a b' et a = b a'
cela donne
a=ab' a'
tu as écrit dans ton premier message que
b = a b' et a = b a'
cela donne
a=ab' a'
Ah oui, je viens de comprendre..
Citation :
ensuite quand tu as ab = abpq et que tu veux pq, que fais-tu réellement ?
: Il faut diviser les 2 côtés de l'équation par "ab". Ce qui donne 1 = pq ?
ensuite quand tu as ab = abpq et que tu veux pq, que fais-tu réellement ?
(si on utilise les primes, il faut diviser chaque côté de l'équation a = ab'a' par a. Ce qui donne 1 = b'a').
Donc, soit p = q = 1, soit p = q = -1, car ce sont les seuls entiers dont le produit donne 1. (Donc, soit a' = b' = 1, soit a' = b' = -1, car ce sont les seuls entiers dont le produit donne 1.) ?
Mais je pense qu'il manque une étape pour conclure ?
Citation :
: Il faut diviser les 2 côtés de l'équation par "ab". Ce qui donne 1 = pq ?
: Il faut diviser les 2 côtés de l'équation par "ab". Ce qui donne 1 = pq ?
tu as le droit de diviser les deux membres par ab ? c'est équivalent ?
j'ai failli donné l'aide tout à l'heure mais j'ai préféré attendre :
carpediem @ 05-09-2023 à 10:30
ensuite ce passage de abpq = ab à pq = 1 s'obtient à partir de règles vu en collège et utilise une hypothèse d l'énoncé dont tu ne t'es pas servi
je te laisse réfléchir un peu et reviendrai plus tard
ensuite ce passage de abpq = ab à pq = 1 s'obtient à partir de règles vu en collège et utilise une hypothèse d l'énoncé dont tu ne t'es pas servi
je te laisse réfléchir un peu et reviendrai plus tard
(sauf cas particulier) le principe fondamental pour résoudre des équations et surtout des inéquations est de tout mettre dans un membre et factoriser ... et utiliser les hypothèses de l'énoncé
Ah oui effectivement..
ab = abpq
ab-abpq = 0
ab(1-pq) = 0
ab = 0 ou 1-pq = 0
ab = 0 ou 1 = pq
Donc soit p=q=1, soit p=q=-1
Ah oui alors, je pense que ab ne peut pas être égal à 0 car une division par 0 est impossible et en plus il est précisé dans l'énoncé que a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
tu ne prends pas l'explication par le bon bout 
quand tu arrives à
ab(1-pq) = 0
tu reprends ton énoncé et tu dis que a et b sont non nuls donc que ab est non nul
donc tu es sûre d'avoir le droit de diviser par 0
et tu obtiens donc pq=1
et là tu termines
tu vois la nuance ?
malou edit, j'ai barré ma bêtise !
Ah oui, je vois.
Mais je ne suis pas certaine de comprendre pourquoi je suis sûre d'avoir le droit de diviser par 0
excuse moi j'ai écrit une bêtise que je vais barrer au dessus
je voulais dire
donc tu es sûre d'avoir le droit de diviser par quelque chose qui ne vaut pas 0
tu arrives à pq=1 en sachant que p et q sont des entiers relatifs
et là, simple bon sens
p=1 et q=1
ou
p=-1 et q=-1
ce qui te bonne bien ce que tu cherches
oui ?
Je n'arrive pas vraiment à a = b ni b = -a, donc ça ne me donne pas vraiment exactement ce que je cherche por moi
Si je reformule tout depuis le début, ça donne :
Si a/b et b/a sont entiers, alors il existe deux entiers relatifs tels que :
a = bp
b = aq
donc ab = aqpb
ab-aqpb = 0
ab(1-qp) = 0
Or a et b sont deux entiers relatifs non nuls, d'où ab est non nul
Donc 1 - qp = 0
1 = qp
D'où soit q = p = 1, soit q = p = -1
Alors a = b ou b = -a.
(autrement avec les primes :
Si a/b et b/a sont entiers, alors il existe deux entiers relatifs tels que :
b = ab' et a = ba'
donc ab = ba'ab'
ab - ba'ab' = 0
ab(1-a'b') = 0
Or a et b sont deux entiers relatifs non nuls, d'où ab est non nul.
Donc 1 - a'b' = 0
1 = a'b'
D'où soit a'=b'=1, soit a'=b'=-1.)
oui !
juste une remarque sans même parler de division (même si c'est implicite) : rappelle toi la règle du produit nul : apprise au collège
donc on peut écrire :
... <=> ab(1 - pq) = 0 <=> ab = 0 ou 1 - pq = 0
or la première éventualité est fausse d'après l'énoncé (a et b sont des entiers non nuls) donc pq = 1
il est important de savoir manipuler des propositions fausses car tu vas très certainement en rencontrer dans les raisonnements par récurrence
PS : je suppose que c'est un exercice de math expertes ?
Merci beaucoup pour le rappel, mais j'ai utilisé cette règle dans un précédent message. J'ai juste cru comprendre qu'il était inutile de faire cette étape suite à une remarque de malou, donc c'est pour ça que je suis passée directement à l'explication de la proposition fausse
Merci beaucoup à vous deux pour votre aide en tout cas
PS : Oui exactement, c'est un exercice de maths expertes
D'ailleurs, vous n'auriez pas des exercices un peu dans le même style pour que je puisse m'assurer d'avoir bien compris ?
Tu as dans les fiches de terminale une fiche d'arithmétique où tu vas trouver les exercices type corrigés. Cette fiche va te servir cette année.
La je suis sur mon téléphone mais si tu ne la trouves pas je te mettrai un lien quand je serai sur mon ordi
Night13 @ 06-09-2023 à 16:42
J'ai juste cru comprendre qu'il était inutile de faire cette étape suite à une remarque de malou, donc c'est pour ça que je suis passée directement à l'explication de la proposition fausse
je ne pense pas que ce soit la meilleure méthode pour bien travailler (avec rigueur)
J'ai juste cru comprendre qu'il était inutile de faire cette étape suite à une remarque de malou, donc c'est pour ça que je suis passée directement à l'explication de la proposition fausse
quand on a une règle telle que celle du produit nul ou la règle des signes par exemple alors on l'applique toujours exactement telle qu'elle est donnée (ou encore par exemple lorsqu'on applique "bêtement" les formules des racines d'un trinome (*))
puis ensuite et seulement ensuite on revient à l'énoncé et à ses hypothèses et on interprète les résultats trouvés et éventuellement on élimine en justifiant les résultats non conformes ou en contradiction avec l'énoncé
(*) on simplifie le résultat ensuite et seulement après avoir "appliqué bêtement" les formules : c'est comme ça qu'on les apprend et on les retient