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Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:57

Tu as cité toi meme le théorème plus haut!
Je te met en gras la partie qui va servir.

Citation :
Théorème —  Soit {\displaystyle f:G\to K} un morphisme de groupes. Si {\displaystyle H} est contenu dans le noyau de {\displaystyle f}, alors il existe un unique morphisme de groupes {\displaystyle g:G/H\to K}tel que {\displaystyle f=g\circ s} . De plus :

{\displaystyle g} est surjectif si {\displaystyle f} est surjectif ;
{\displaystyle g} est injectif si on a {\displaystyle H=\ker f} ;
{\displaystyle g} est un isomorphisme si {\displaystyle f} est surjectif et {\displaystyle H=\ker f}.

On se fout de tout le reste ici (pour construire ton g).

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 18:14

Ok.
Je vais utiliser ce théorème strictement.

Citation :
Théorème —  Soit {\displaystyle f:\mathbb{Z}\to G} un morphisme de groupes. Si {\displaystyle H=n\mathbb{Z}} est contenu dans le noyau de {\displaystyle f}, alors il existe un unique morphisme de groupes {\displaystyle g:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G}tel que {\displaystyle f=g\circ s} . De plus :

{\displaystyle g} est surjectif si {\displaystyle f} est surjectif ;
{\displaystyle g} est injectif si on a {\displaystyle n\mathbb{Z}=\ker f} ;
{\displaystyle g} est un isomorphisme si {\displaystyle f} est surjectif et {\displaystyle n\mathbb{Z}=\ker f}.


Est-ce bien ça ?

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 19:02

Ah mais oui. La propriété universelle d'un groupe libre, je l'ai un peu plus loin dans mon cours. Si G est cyclique, il faut évidemment que l'ordre de l'élément image divise l'ordre de G, et c'est une condition suffisante et c'est l'objet de l'exercice. Oui c'était la même question avec les A-modules, mais je ne l'avais pas encore vue avec les groupes libres (je fais les choses à l'envers : les anneaux, les A-modules et les corps, puis les groupes). Merci !

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 15:34

Ce que j'ai écrit dans mon dernier message est exact ?

Je pense ne pas m'être trompé ce coup-ci :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array}. est un morphisme de groupes.

Si H=n\mathbb{Z}\subset\ker(f) alors il existe un unique morphisme de groupes \bar{f}:\mathbb{Z}/H\to Im(f)

tel que f=\bar{f}\circ \pi .

L'ai-je bien appliqué ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 15:38

Ok, j'abandonne.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 16:11

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 17:18

mokassin @ 05-04-2020 à 18:37

Milka3 @ 05-04-2020 à 17:18

C'est-à-dire ?

Choisir ton élément a qui engendre G, c'est choisir un isomorphisme canonique canonique entre G et Z/nZ (n l'ordre de a), qui envoie 1 sur a (et a sur 1) vois tu pourquoi?
A partir de la et quitte à composer avec cet iso canonique, tu as simplement à construire un morphisme de Z/nZ sur G', qui envoie 1 sur b.
La propriété universelle du quotient te dit que c'est possible ssi l'ordre de b divise n.
En effet elle te dit que les morphismes de Z/nZ dans G' qui envoient 1 sur b sont exactement les morphisme de Z dans G' qui envoient 1 sur b et qui annulent n.
Comme il existe exactement 1 morphisme de Z dans G qui envoie 1 sur b, il faut et il suffit de vérifier qu'il annule n, autrement dit que b^n=1 (en notation multiplication, ou nb=0 si tu preferes) c'est à dire que l'ordre de b divise n.

Voila.

Y a tout dans ce message là.
Prend le temps de le lire et normalement tu verras qu'y a pas de difficulté particuliere.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 17:53

J'essaye vraiment, sans vouloir abuser de votre patience !
Je commence par la première phrase de ce message :

Citation :
Choisir ton élément a qui engendre G, c'est choisir un isomorphisme canonique canonique entre G et Z/nZ (n l'ordre de a), qui envoie 1 sur a (et a sur 1) vois tu pourquoi?


Je considère le morphisme \\ \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array}. \\ .


On sait que G est engendré par a et qu'il est d'ordre n.
Donc o(a)=card(<a>)=card(G)=n.
L'élément a est d'ordre n.
Par conséquent f(n)=a^n=1.
Et donc n\in\ker(f).

Je voudrais pouvoir appliqué le théorème de factorisation. J'ai besoin d'un morphisme (c'est f, c'est ok) et que H soit contenu dans le noyau de f.

C'est là que je coince.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 17:56

Dire que a est d'ordre n, c'est exactement synonyme de dire que le morphisme Z->G, qui envoie 1 sur a, a pour noyau nZ.

Et on avait déja réglé cette partie enfin, tu vas pas faire la meme démonstration 3 fois!?

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 18:11

Pour moi ce n'était pas clair !
Mais je pense avoir compris pourquoi.

Ker(f) est un sous-groupe de \mathbb{Z} donc de la forme m\mathbb{Z}.

C-à-d Ker(f)=m\mathbb{Z} avec m\in\mathbb{N}^*.

Je veux prouver que m=n.

Je prouve que n\mid m :
On a : m\in m\mathbb{Z}=Ker(f) donc f(m)=a^m=1 et donc o(a)\mid m, soit n\mid m.

Je prouve que m\mid n.
On a : f(n)=a^n=1 donc n\in Ker(f)=m\mathbb{Z} d'où m\mid n.

Finalement : m=n.

Je retiens :
a est d'ordre n \iff le noyau du morphisme \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array} est n\mathbb{Z}

Ce point là est plus clair maintenant, désolé de ma lenteur.
Je vais reprendre votre message à tête reposée.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 08-04-20 à 18:21

Parfait, fait donc la meme chose pour le morphisme Z->G', qui envoie 1 sur b, cette fois tu n'auras pas que nZ (n est tjs l'ordre de a) est le noyau de ce morphisme, mais simplement qu'il est contenu dedans ce qui est équivalent comme tu l'as remarqué dans le message precedent, au fait que l'ordre de b divise n.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 09-04-20 à 12:54

Ok !

En fait je suis en train de réaliser un truc.

Théorème

Soit (G,.) un groupe et a\in G.
Alors le noyau du morphisme :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ \phi & : & \mathbb{Z}& \to & G \\   \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \end{array}

est toujours Ker(\phi)=o(a)\mathbb{Z}, où je note o(a) l'ordre de a.


Hier, je l'ai appliqué au morphisme :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ \phi & : & \mathbb{Z}& \to & G \\   \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \end{array}

Aujourd'hui, je vais l'appliquer au morphisme :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ g& : & \mathbb{Z}& \to & G \\   \\  & & k & \mapsto & b^k \\ \end{array}

Alors j'obtiens que Ker(g)=o(b)\mathbb{Z}.

Comme o(b)\mid o(a)=n, alors o(a)\mathbb{Z}\subset o(b)\mathbb{Z}.

Soit, Ker(f)\subset Ker(g).

Je pense que j'ai mieux compris cette fois !

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 09-04-20 à 13:05

Maintenant je vais appliquer le théorème de factorisation :

Je sais que {\displaystyle g:\mathbb{Z}\to G'} est un morphisme de groupes.

Je sais que H=Ker(f) est contenu dans le noyau de Ker(g).

Donc on peut appliquer le théorème de factorisatio.

Il assure qu'il existe un unique morphisme de groupes {\displaystyle \bar{g}:\mathbb{Z}/\ker(f)\to G'} tel que {\displaystyle g=\bar{g}\circ \pi} .

Et comme Ker(f)=o(a)\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}, on a bien un morphisme {\displaystyle \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G'}.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{g}&G' \\ \\ \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{g}}  & \\ \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \end{matrix}.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 09-04-20 à 13:19

Je reprends l'ensemble, je pense que j'ai bien compris.

On considère les applications

\begin{array}{ccccc} \\ \\ g& : & \mathbb{Z}& \to & G' \\ \\  & & k & \mapsto & b^k \\ \end{array}

et

\begin{array}{ccccc} \\ \\ f& : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \end{array}.

Ce sont des morphismes de groupes avec :
Ker(f)=o(a)\mathbb{Z}.
Ker(g)=o(b)\mathbb{Z}.

Comme o(b)\mid o(a), alors o(a)\mathbb{Z}\subset o(b)\mathbb{Z}.

Soit, Ker(f)\subset Ker(g).

Première application du théorème de factorisation :

Je sais que g:\mathbb{Z}\to G' est un morphisme de groupes.

Je sais que H=ker(f)\subset ker(g).

Donc on peut appliquer le théorème.

Il assure l'existence et l'unicité d'un morphisme de groupes {\displaystyle \bar{g}:\mathbb{Z}/H\to G'} tel que {\displaystyle g=\bar{g}\circ\pi}.

Deuxième application du théorème de factorisation :

Je sais que f:\mathbb{Z}\to G est un morphisme de groupes.

Je sais que H=ker(f)\subset ker(f) (il lui est même égal dans ce cas).

Donc on peut appliquer le théorème.

Il assure l'existence et l'unicité d'un morphisme de groupes {\displaystyle \bar{f}:\mathbb{Z}/H\to G} tel que {\displaystyle f=\bar{f}\circ\pi}.

---

On dispose ainsi de deux morphismes :
{\displaystyle \bar{f}^{-1}:G\to\mathbb{Z}/H}
{\displaystyle \bar{g}:\mathbb{Z}/H\to G'}

Avec H=ker(f).

Par conséquent, \phi=\bar{g}\circ\bar{f}^{-1} est bien un morphisme de G dans G', comme composé de deux morphismes.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 11-04-20 à 12:35

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 13-04-20 à 13:40

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