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Existence d'un morphisme de groupes

Posté par
Milka3 05-04-20 à 16:46

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant à faire :

Citation :

On considère G et G' deux groupes notés multiplicativement.
On suppose que le groupe G est cyclique engendré par un élément a.
Soit b un élément de G'.
Montrer que :
Il existe un morphisme \phi:G\to G' vérifiant \phi(a)=b  \iff  b est d'ordre fini divisant celui de a.


(\Rightarrow)
Pas de problème.

(\Leftarrow)
Je suppose que b' est un élément de G' d'ordre fini divisant celui de a, c'est-à-dire n.

Les éléments de G s'écrivent a^k avec k\in[[0,n-1]] et sont deux à deux distincts. On peut construire une application f au départ de G à valeurs dans G' en posant f(a^k)=b^k pour tout k\in[[0,n-1]] .

- f est bien définie puisque b\in G'\Rightarrow <b>\subset G' et donc b^k\in<b>\subset G'. Soit f(a^k)\in G'.

- Reste à vérifier que f est un morphisme, soit f(xy)=f(x)f(y) pour x,y\in G.

On peut écrire x=a^k et y=a^l avec k,l\in [[0,n-1]].

Et donc xy=a^{k+l}.

Et là, le point sensible, pourquoi puis-je écrire xy=a^m avec m\equiv k+l[n] et m\in [[0,n-1]] ?

Je ne le vois pas ?

Sinon, j'arrive à conclure.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 16:54

Bonjour,
Ecris que G=Z/nZ, et utilise la propriété universelle du quotient.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 17:18

C'est-à-dire ?

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 17:21

Je sais que k\in [[0,n-1]] et l\in [[0,n-1]].

Donc k+l\in [[0,2(n-1)]].

Donc si je pose m:=k+l, je ne vois pas pourquoi m\in [[0,n-1]].

Ou bien je passe à côté de quelque chose.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:09

Bonjour,

Ben, m=k+l, a^m=a^r, r\in [0, n-1], car a^n=e (division euclidienne de m par n).

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:11

J'y avais pensé.
Mais cela ne m'explique pas pourquoi m\equiv k+l[n], si ?

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:23

Mais m=k+l, non ? On veut a^k * a^l = a^r tel que r soit dans [0, n-1].

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:25

m=k+l dans ton message de 17h21.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:34

m:=k+l est congru (modulo n) au reste r de la division euclidienne de m par n, qui lui appartient bien à [0,n-1].

division euclidienne : m=nq+r.

a^m=a^(nq+r)=(a^n)^q * a^r = a^r.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:34

J'arrive à xy^{k+l}.

Je pose m:=k+l

Ce qui donne x^{k+l}=x^{m}.

Je cherche à savoir pourquoi :

(1) m\equiv k+l[n]
(2) m\in [[0,n-1]]

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:37

Milka3 @ 05-04-2020 à 17:18

C'est-à-dire ?

Choisir ton élément a qui engendre G, c'est choisir un isomorphisme canonique canonique entre G et Z/nZ (n l'ordre de a), qui envoie 1 sur a (et a sur 1) vois tu pourquoi?
A partir de la et quitte à composer avec cet iso canonique, tu as simplement à construire un morphisme de Z/nZ sur G', qui envoie 1 sur b.
La propriété universelle du quotient te dit que c'est possible ssi l'ordre de b divise n.
En effet elle te dit que les morphismes de Z/nZ dans G' qui envoient 1 sur b sont exactement les morphisme de Z dans G' qui envoient 1 sur b et qui annulent n.
Comme il existe exactement 1 morphisme de Z dans G qui envoie 1 sur b, il faut et il suffit de vérifier qu'il annule n, autrement dit que b^n=1 (en notation multiplication, ou nb=0 si tu preferes) c'est à dire que l'ordre de b divise n.

Voila.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 18:47

Milka3 @ 05-04-2020 à 16:46


Les éléments de G s'écrivent a^k avec k\in[[0,n-1]] et sont deux à deux distincts.

C'est une TRES mauvaise idée de penser aux éléments de Z/nZ, comme à ceux de [0,n-1].
Ton problème vient justement de la.
Un élément de G, s'ecrit a^k avec k dans Z/nZ.

Bien sur c'est pas fondamtalement faux ce que tu écrit, c'est vrai que [0, n-1] est un systeme de representant dans Z de Z/nZ... mais 99,9999999% du temps, ce sera mal mal venu et on s'en foutra.
Quand tu manipules un élément de Z/nZ (et c'est le cas ici), si on a à choisir un representant, on se fout de le prendre dans [0,n-1]... c'est plus simple d'en prendre un quelconque.

Ici c'est le cas, comme a est d'ordre n, ca veut dire que tu as un isomorphisme de Z/nZ sur (a) (le groupe engendré par a) qui envoie k sur a^k, et pour enfoncer le clou, c'est le fait que a^n=1, qui te dit que l'exposant est bien un "element de Z/nZ", parce que seule la classe mod n de l'exposant compte étant donné que a^{kn+p}=a^p.

Morale de l'histoire : ne jamais scinder les quotients.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 05-04-20 à 19:14

Citation :

Je pose m:=k+l

Je cherche à savoir pourquoi :

(1) m\equiv k+l[n]

Si m est égal à k+l, alors m est congru à k+l modulo n'importe quoi !

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 12:20

Citation :
Choisir ton élément a qui engendre G, c'est choisir un isomorphisme canonique canonique entre G et Z/nZ (n l'ordre de a), qui envoie 1 sur a (et a sur 1) vois tu pourquoi?


Je ne comprends pas cette phrase.

Je dois montrer que :
b\in G' est tel que o(b) \mid a \Rightarrow il existe un morphisme \phi : G\to G' vérifiant \phi(a)=b.

Je sais au départ que G=<a> et que card(G)=n.

Alors l'application \begin{array}{ccccc} \\ f & : & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} & \to & G \\ \\ & & k & \mapsto & a^k\\ \\ \end{array} est un isomorphisme ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 12:22

Ben oui bien sur.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 12:45

J'essaye de le montrer.

- f est clairement un morphisme de groupes.

- Im(f)=\{f(\bar{k})\mid \bar{k}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\}=\{a^k\mid \bar{k}\in\mathbb{Z}\}=<a>=G.
D'où f est surjective.

Donc f est un morphisme surjectif entre 2 ensembles finis de mêmes cardinaux, c'est donc une bijection. Et donc f est bien un isomorphisme.

C'est bon si le justifie comme ça ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 12:51

Le seul point a verifier c'est que f est bien défini, ce qui est donné la aussi par la propriété universelle du quotient.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 12:54

mokassin

Choisir ton élément a qui engendre G, c'est choisir un isomorphisme canonique canonique entre G et Z/nZ (n l'ordre de a), qui envoie 1 sur a (et a sur 1) vois tu pourquoi?

Je vois mieux, c'est ce que je viens de faire.
Et avec cet isomorphisme, je trouve f(\bar{1})=a^1=a.
Donc f envoie \bar{1} sur a.

mokassin

A partir de la et quitte à composer avec cet iso canonique, tu as simplement à construire un morphisme de Z/nZ sur G', qui envoie 1 sur b.


Je suppose que j'arrive à construire un autre morphisme g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G' tel que g(1)=b.

Moi j'en veux un \phi qui va de G dans G'.
J'ai f qui va de \mathbb{Z}/n\mathbb Z dans G.
Et je veux en construire un qui va de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} dans G'.

Je les compose comment ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 13:09

\begin{matrix} \mathbb{Z}/(n) & \rightarrow&G \\ \\ \downarrow & \swarrow  & \\ \\ G' \\ \end{matrix}

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 13:10

Plutot
\begin{matrix} \mathbb{Z}/(n) & \leftarrow&G \\ \\ \downarrow & \swarrow  & \\ \\ G' \\ \end{matrix}

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 13:40

Ah, je comprends.
Mais le théorème de factorisation stipule que :

Si f:G\to K est un morphisme,
alors il existe un unique isomorphisme \bar{f}:G/ker(f)\to Im(f) tel que f=\bar{f}\circ\pi
où \pi:G\to G/ker(f) est la surjection canonique :

Soit :
\begin{matrix} G/ker(f)& \leftarrow&G \\ \\ \\ \downarrow & \swarrow  & \\ \\ \\ K \\ \\ \end{matrix}

Donc il faut au départ un morphisme f.

Or j'ai l'impression qu'ici, le morphisme dont on a besoin et celui que l'on est en train de construire. Ou alors je fais une confusion ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 13:44

Mais enfin, tu as un isomorphisme disons f de G dans Z/nZ, suppose que tu construises g un morphisme de Z/nZ dans G' alors tu as un morphisme de G dans G' donné par gof.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 14:09

Ah oui !

Mais donc dans mon message Existence d'un morphisme de groupes, je me suis trompé. C'est plutôt :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & G& \to & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \\  & & k & \mapsto & a^k\\ \\ \\ \end{array} est un isomorphisme, et non l'inverse.

mokassin

A partir de la et quitte à composer avec cet iso canonique, tu as simplement à construire un morphisme de Z/nZ sur G', qui envoie 1 sur b.


Dans ce cas, oui. Je vais essayer de construire un morphisme :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ g & : & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} & \to & G' \\ \\ \\ \end{array}

mokassin

La propriété universelle du quotient te dit que c'est possible ssi l'ordre de b divise n.
En effet elle te dit que les morphismes de Z/nZ dans G' qui envoient 1 sur b sont exactement les morphisme de Z dans G' qui envoient 1 sur b et qui annulent n.

Est-ce que tu peux me donner l'énoncé de cette propriété ?

Moi j'utilise celui-ci :

(dans la partie du cas des groupes)

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 14:20

Milka3 @ 06-04-2020 à 14:09

Ah oui !

Mais donc dans mon message Existence d'un morphisme de groupes, je me suis trompé. C'est plutôt :

\begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & G& \to & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \\  & & k & \mapsto & a^k\\ \\ \\ \end{array} est un isomorphisme, et non l'inverse.

Non, la fleche que tu écris va dans l'autre sens, mais quand tu as un isomorphisme f: H->K, tu as de facto un isomorphisme invers f^{-1}: ->H.
Construire l'un ou l'autre revient au meme.


Citation :

Est-ce que tu peux me donner l'énoncé de cette propriété ?

Moi j'utilise celui-ci :

(dans la partie du cas des groupes)

Oui, c'est bien cette propriété la.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 14:39

mokassin

Non, la fleche que tu écris va dans l'autre sens, mais quand tu as un isomorphisme f: H->K, tu as de facto un isomorphisme invers f^{-1}: ->H.
Construire l'un ou l'autre revient au meme.

Oui, c'est vrai ! J'ai bien compris.

mokassin

En effet elle te dit que les morphismes de Z/nZ dans G' qui envoient 1 sur b sont exactement les morphisme de Z dans G' qui envoient 1 sur b et qui annulent n.


Je ne vois pas cela apparaître dans le théorème de factorisation. Je le recopie ici :

Citation :
Théorème —  Soit {\displaystyle f:G\to K} un morphisme de groupes. Si {\displaystyle H} est contenu dans le noyau de {\displaystyle f}, alors il existe un unique morphisme de groupes {\displaystyle g:G/H\to K} tel que {\displaystyle f=g\circ s}. De plus :

{\displaystyle g} est surjectif si {\displaystyle f} est surjectif ;
{\displaystyle g} est injectif si on a {\displaystyle H=\ker f} ;
{\displaystyle g} est un isomorphisme si {\displaystyle f} est surjectif et {\displaystyle H=\ker f}.


Comment passer de ce théorème à ce que tu annonces dans ton message ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 15:17



Citation :
Théorème —  Soit {\displaystyle f:\mathbb{Z}\to K} un morphisme de groupes. Si (et seulement si) n\mathbb{Z} est contenu dans le noyau de {\displaystyle f}, alors il existe un unique morphisme de groupes {\displaystyle g:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to K} tel que {\displaystyle f=g\circ s}.


Il te reste plus qu'a remarquer que comme s(1)=1, alors f envoie 1 sur b ssi g envoie 1 sur b.
Et aussi de remarquer que dire f annule n est une autre manière de nZ est dans le noyau de f.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 18:33

Je reprends :
Je considère l'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array}. C'est un morphisme de groupes.

Le noyau est donné par ker(f):=\{k\in\mathbb{Z}\mid f(k)=1\}=\{k\in\mathbb{Z}\mid a^k=1\}. C'est un sous-groupe de \mathbb{Z}, donc de la forme n\mathbb{Z}.

L'ensemble H=n\mathbb{Z} est contenu dans le noyau de f.

Le théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(f)

tel que f=\bar{f}\circ \pi  :

\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{f}&Im(f) \\ \\ \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{f}}  & \\ \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \end{matrix}

Est-ce cela ?

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 18:40

Dans les notation de mon cours :

f = morphisme de départ = de G dans Im(f)
\pi = surjection canonique = de G dans G/ker(f)
\bar{f} = unique isomorphisme = de G/ker(f) dans Im(f)

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 23:33

Bonsoir,

Je me glisse dans le fil. Moi, il y a une question toute bête que je me pose :

Soit G un groupe et a un élément de G. Quelle propriété est utilisée pour dire qu'il existe un unique morphisme de \Z \rightarrow G qui envoie 1 sur a ?

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 06-04-20 à 23:40

Milka3, il me semble que tu peux utiliser le 1er théorème d'isomorphisme qui te donne directement le résultat de Z/nZ isomorphe à G=<a>, a d'ordre n :

soit f morphisme : Z-> G, 1->a ; alors Ker f = nZ, f est surjective, donc Z/nZ isomorphe à G.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 00:11

coa347 @ 06-04-2020 à 23:40

Milka3, il me semble que tu peux utiliser le 1er théorème d'isomorphisme qui te donne directement le résultat de Z/nZ isomorphe à G=<a>, a d'ordre n :

soit f morphisme : Z-> G, 1->a ; alors Ker f = nZ, f est surjective, donc Z/nZ isomorphe à G.

Rectification : c'est bien le théorème de factorisation qu'il faut utiliser (pas le 1er théorème d'isomorphisme), avec les mêmes hypothèses : Ker f = nZ, et f surjective.

Je confonds toujours ces deux théorèmes, parce que pour moi le terme de factorisation se rapporte au fait de factoriser un groupe quelconque (alors que ceci est décrit par le 1er théorème d'isomorphisme ). Mais c'est vrai que le théorème de factorisation permet de factoriser un morphisme.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 07:55

coa347 @ 06-04-2020 à 23:33

Bonsoir,

Je me glisse dans le fil. Moi, il y a une question toute bête que je me pose :

Soit G un groupe et a un élément de G. Quelle propriété est utilisée pour dire qu'il existe un unique morphisme de \Z \rightarrow G qui envoie 1 sur a ?

La propriété universelle des groupes libres.

Enfin, je dis ca car c'est vrai, mais c'est absolument évident, si G est un groupe quelconque alors il existe un unique morphisme de Z dans G, envoyant 1 sur a, c'est n->a^n.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 07:59

mokassin @ 07-04-2020 à 07:55



Enfin, je dis ca car c'est vrai, mais c'est absolument évident, si G est un groupe quelconque alors il existe un unique morphisme de Z dans G, envoyant 1 sur a, c'est n->a^n.

Je veux dire que je dis que c'est la propriété universelle des groupes car c'est vraiment un cas particulier de la propriété universelle des groupes libres quoi, mais y a pas besoin de la connaitre ou savoir ce qu'est un groupe libre ici. Je disais plus ça pour toi que pour Milka3 (puisque toi je sais que tu sais ce que c'est, on en a parlé autrefois).

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 12:41

Bonjour à tous les deux,

Dans mon message, j'ai montré que puisque f:\mathbb{Z}\to G était un morphisme. Je reprends les notations de mon message de 18h33.

Alors le théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/Ker(f)\to Im(f) de sorte que f=\bar{f}\circ\pi.

Je vois que Ker(f)=n\mathbb{Z} et Im(f)=<a>.

Ce théorème assure donc l'existence d'un isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to <a>.

On peut donc considérer l'isomorphisme réciproque \bar{f}^{-1}:<a>\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} .

Et il me reste à construire un morphisme g:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G'.

Ainsi j'aurai \phi :<a>\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow  G'.

Soit \phi=g\circ\bar{f}^{-1}.

Est-ce bien cela ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 12:51

Mais tu es toujours sur montrer qu'un groupe cyclique est isomorphe à Z/nZ??
Je croyais qu'on en avait fini avec ce message

Milka3 @ 06-04-2020 à 14:39


Oui, c'est vrai ! J'ai bien compris.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 13:09

J'essaye de reprendre l'exercice dans son ensemble en fait.
Quel raisonnement on adopte ?

Est-ce que je prouve que :
Il existe un morphisme \phi:G\to G' vérifiant \phi(a)=b \iff  b est d'ordre fini divisant celui de a.

directement par équivalence ?

ou

par double implication ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 13:17

Ben, un peu comme tu veux en fait. ^^

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 13:47

Ok !
Je vais raisonner par double implication.

Je commence par le sens où j'étais le plus en difficulté.

Je veux prouver que :
b est d'ordre fini divisant celui de a \Rightarrow il existe un morphisme \phi:G\to G' vérifiant \phi(a)=b


Pour commencer, je remarque que l'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array} est un morphisme de noyau Ker(f)=n\mathbb{Z}.

Puis je dis que le théorème de factorisation assure l'existe d'un unique isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(f) tel que f=\bar{f}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{f}&Im(f) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{f}}  & \\ \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \end{matrix}

J'obtiens donc l'isomorphisme réciproque \bar{f}^{-1}:Im(f)\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} .

Je vais maintenant construire un morphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G'.

Ainsi, je poserai \phi : Im(f)\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G'., c'est-à-dire \phi=\bar{g}\circ\bar{f}^{-1}. Ce sera un morphisme de G dans G'.

De nouveau, si g:\mathbb{Z}\to G' est un morphisme, alors le théorème de factorisation assure l'existe d'un unique isomorphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(g) tel que g=\bar{g}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{g}&Im(g) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{g}}  & \\ \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \end{matrix}

Est-ce que j'ai bien compris jusqu'ici ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 13:52

Ta deuxième utilisation de la propriété universelle n'est pas tres convaincante non.
On ne voit pas où tu utilises que b est d'ordre divisant n.

Par ailleurs vu ce que te demande ton énoncé il est important que tu precise que l'isomorphisme que tu construit de Z/n sur G, envoie 1 sur a et donc que le morphisme que tu construit de Z/nZ dans G' envoie 1 sur b.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 13:53

Et puis,

Milka3 @ 07-04-2020 à 13:47



De nouveau, si g:\mathbb{Z}\to G' est un morphisme, alors le théorème de factorisation assure l'existe d'un unique isomorphisme

quel morphisme? On le prend pas au hasard g.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 14:18

Oui, j'ai oublié de le dire. Je veux \phi(a)=b.

Et comme \phi=\bar{g}\circ\bar{f}^{-1}, alors je veux \phi(a)=\bar{g}(\bar{f}^{-1}(a))=b.

Dans ma première utilisation du théorème de factorisation, j'ai montré qu'il existe un unique isomorphisme \bar{f} tel que f=\bar{f}\circ\pi.

Comme f(1)=a, j'obtiens que \bar{f}(\pi(1))=a et donc \pi(1)=\bar{f}^{-1}(a).

Donc je veux que \phi(a)=\bar{g}(\bar{f}^{-1}(a))=\bar{g}(\pi(1))=b.

En construisant un morphisme g:\mathbb{Z}\to G' de sorte que g(1)=b, une deuxième utilisation du théorème de factorisation donnera l'existence d'un unique isomorphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(g) tel que g=\bar{g}\circ\pi avec g(1)=b et donc \bar{g}\circ\pi (1)=b, soit \bar{g}(\pi(1))=b.

C'est-à-dire \phi(a)=b.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 14:41

Pour commencer, je remarque que l'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array} est un morphisme de noyau Ker(f)=n\mathbb{Z}.

Une première utilisation du théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(f) tel que f=\bar{f}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{f}&Im(f) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{f}}  & \\ \\ \\  \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \end{matrix}

De la même manière, je remarque que l'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ g & : & \mathbb{Z}& \to & G' \\ \\  & & k & \mapsto & b^k \\ \\ \end{array} est un morphisme de noyau Ker(g)=n\mathbb{Z}.

Une deuxième utilisation du théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(g) tel que g=\bar{g}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{g}&Im(g) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{g}}  & \\ \\ \\  \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \\ \end{matrix}

Je pose \phi=\bar{g}\circ\bar{f}^{-1}. C'est un morphisme comme composé de deux morphismes.

De plus :
\phi(a)=\bar{g}(\bar{f}^{-1}(a)) (par définition de \phi)
=\bar{g}(\pi(1)) (Ligne 2)
=b (Ligne 3)

Ligne 2 : car f(1)=a donc \bar{f}(\pi(1))=a et donc \pi(1)=\bar{f}^{-1}(a).

Ligne 3 : car g(1)=b donc \bar{g}(\pi(1))=b

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 14:46

Milka3 @ 07-04-2020 à 14:41



Une deuxième utilisation du théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to Im(g) tel que g=\bar{g}\circ\pi.

C'est faux, et c'est le seul point de tout l'exo où y a qqch à dire.

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 15:51

Pourquoi ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 16:44

Ben prend G=Z/4Z, et a=1 et G'=Z/4Z, et b=2 et regarde ce qu'il se passe.
Tu n'utilises jamais que l'ordre de b divise n, et il n'y a aucune raison que le morphisme que tu construises soit un isomorphisme sur (b). Il le sera ssi l'ordre de b=n.  

Applique proprement la propriété universelle du quotient. Y a qu'une ligne à ecrire.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:10

Bonjour,

Ce qui me semble faux aussi à 14:41, c'est Ker(g)=nZ. Pour reprendre l'expression de mokassin, n annule g, ok, mais il n'y a pas que n.

Posté par
coa347re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:24

Merci mokassin pour ta réponse. Cela semble évident qu'il y a un unique morphisme de G dans G' qui envoie un générateur de G d'un groupe monogène (donc les groupes cycliques aussi ?) sur un élément de G', mais je me demandais s'il n'y avait pas un théorème.

Donc on peut l'affirmer sans faire référence à un théorème (je ne connais pas la PU des groupes).

Posté par
Milka3re : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:30

Ok, je vois.

Je recommence.

L'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ f & : & \mathbb{Z}& \to & G \\ \\  & & k & \mapsto & a^k \\ \\ \end{array} est un morphisme de noyau Ker(f).

Une première utilisation du théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{f}:\mathbb{Z}/Ker(f)\to Im(f) tel que f=\bar{f}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{f}&Im(f) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{f}}  & \\ \\ \\  \mathbb{Z}/Ker(f) \\ \\ \end{matrix}

Ensuite, l'application \begin{array}{ccccc} \\ \\ g & : & \mathbb{Z}& \to & G' \\ \\  & & k & \mapsto & b^k \\ \\ \end{array} est aussi un morphisme de noyau Ker(g).

Une deuxième utilisation du théorème de factorisation assure l'existence d'un unique isomorphisme \bar{g}:\mathbb{Z}/Ker(g)\to Im(g) tel que g=\bar{g}\circ\pi.

Soit :
\begin{matrix} \mathbb{Z} & \uderb{\rightarrow}_{g}&Im(g) \\ \underb{\downarrow}_{\pi} & \underb{\nearrow}_{\bar{g}}  & \\ \\ \\  \mathbb{Z}/Ker(g) \\ \\ \end{matrix}

Je sais que \bar{f}^{-1} est une application de Im(f) dans \mathbb{Z}/ker(f).

Et je sais que \bar{g} est une application de \mathbb{Z}/Ker(g) dans G'.

Donc pour pouvoir considérer \phi=\bar{g}\circ\bar{f}^{-1}, c'est-à-dire une application qui va de Im(f) dans \mathbb{Z}/ker(f) puis de \mathbb{Z}/ker(g) dans G', j'ai besoin de l'inclusion suivante :

\mathbb{Z}/ker(f)\subset \mathbb{Z}/ker(g)

Est-ce que c'est juste ceci ?

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:50

coa347 @ 07-04-2020 à 17:24

Merci mokassin pour ta réponse. Cela semble évident qu'il y a un unique morphisme de G dans G' qui envoie un générateur de G d'un groupe monogène (donc les groupes cycliques aussi ?) sur un élément de G', mais je me demandais s'il n'y avait pas un théorème.

Donc on peut l'affirmer sans faire référence à un théorème (je ne connais pas la PU des groupes).

Me semble bien qu'on avait parlé de propriété universelle des groupes (abéliens) libre pourtant.

Si G est monogène de générateur g, et si H est un groupe et h est un élément quelconque de H, il existe au plus un morphisme de G dans H qui envoie g sur h. Si G est libre (dans ce cas monogène et infini, isomorphe à Z donc) il existera toujours, si G est cyclique alors il faut et il suffit de l'ordre de h divise l'ordre de G, c'est précisement l'objet de... l'exercice, et ca n'est qu'ecrire la propriété universelle du quotient et celle d'un groupe libre à un générateur.

Si G est un groupe généré par un certain nombre de générateurs g_1,...,g_p (d'ailleurs pouvant etre en nombre infini), et si H est un groupe quelconque et h_1,...,h_p sont des éléments quelconques de H, alors il existe toujours AU PLUS un morphisme de G dans H envoyant g_1,...g_p sur h_1,...,h_p. Si ce morphisme existe toujours on dit que G est libre.

Z est le groupe libre a 1 générateur (un groupe libre engendré par un ensemble S est toujours unique a unique isomorphisme pres.... Yoneda encore). C'est aussi le groupe abélien libre à 1 générateur (l'histoire est la meme il faut juste ajouter des abéliens partout).

Apres, oui, dans le cas de Z, c'est parfaitement évident.

Posté par
mokassinre : Existence d'un morphisme de groupes 07-04-20 à 17:52

Tiens tu peux relire ce fil et voir le lien entre les differentes notions d'objets libres (groupe, groupes abéliens, A-modules etc...)
https://www.ilemaths.net/sujet-morphisme-de-a-modules-830133.html

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