Salut !


euh... une fonction convexe c'est continu ca non ? et en géneral les fonction continu sur un segments ba...

non, une fonction convexe n'est pas forcément continue.

Il me semble que la fonction définie sur R+ par f(0)=1 et f(x)=0 pour x > 0 est convexe, mais je me rappelle plus comment on le montre

En fait une fonction convexe est continue pour tous les points intérieurs à I, mais peut etre discontinue aux bornes de I

ouai, tu as raison le résultat exacte c'est une fonction convexe sur un ouvert est continu.

Tu saurais comment montrer que la fonction définie dans mon message de 17:52 est convexe ?

ba... en vérifiant à la main l'inégalité de convexité ca marche pas ? (en dissociant les cas a=0 ou b=0 et a et b >0 )

oui, surement.

Sinon, pour revenir à l'exercice, la majoration se montre assez facilement.

Bonjour,

si f est convexe sur [a,b] alors pour tout x=ta+(1-t)b on a:

c'est ça !

J'ai montré que majorée la.

je sais

J'ai envie de dire que ca se voit vu que la courbe d'une fonction convexe est au-dessus d'une de ses tangentes par exemple.

Ca se voit mais il vaut le montrer

Petite indication : soit . On a

Alors

Oui mais géométriquement,une fonction convexe est forcément dérivable en au moins un point de [a,b] par exemple en c il me semble et dans ce cas la pour tout x dans [a,b],f(x)>=(x-c)f'(c)+f(c).

Pardon c'est

Il me semble qu'on peut juste dire qu'elle admet en tout point de l'intérieur une dérivée à gauche et à droite, mais rien ne prouve qu'elle soit dérivable en au moins un point.

Non ?

Je crois qu'une fonction convexe est dérivable sauf en un nombre dénombrable ou un truc dans le genre ca doit se prouver avec l'histoire de la dérivée à droite et à gauche en considérant l'ensemble des points ou elles diffèrent.

Oui, peut-etre, je ne maitrise pas assez ça, dans ce cas ça marcherait ce que tu as dit

J'ai un peu la flemme de faire avec ton indication je te le cache pas

Quelle est l'idée géométriquement parlant?

Ben géométriquement j'ai pas compris ce que ça représentait

J'avais trouvé ça sur un forum.

On a en fait : .

J'ai du mal à visualiser ce que ça représente géométriquement, si t'arrives à capter, je veux bien que tu me le dise

Oui parce que pour trouver ca faut bien l'avoir pensé géométriquement enfin sinon je vois pas comment ca sort du chapeau en tout ca rien ne sort du mien sans dessin

Moi non plus

Mais c'est bien vu

Sinon on peut pas dire que par exemple sur [a,(a+b)/2] la courbe est au-dessus de la droite qui relie a+b/2 à b.

et ?

Et bien c'est minoré par une fonction affine,et on fait pareil sur [(a+b)/2,b].

ah oui.

Mais en fait, je pensais aussi faire ce genre de truc, mais vu la solution de l'exo, je me demande s'il y a pas des fonctions convexes qui justement ne vérifient pas celà.

Bonsoir ;
Rouliane , comment on montre qu'une fonction convexe sur est continue sur ?

Je sais plus

Je me permets alors de répondre : ça se montre en utilisant la croissance des pentes.

Kaiser

La croissance de la fonction x --> ?

Tu montres qu'elle est localement lipschitzienne?

pas avec a !
En fait, il faut considérer c dans l'intervalle ouvert et considérer cette application mais en remplaçant a par c.

Kaiser

Cauchy> pas du tout ! plus simple !

Kaiser

le a n'est pas le a de l'énoncé bien sur, c'est un reflexe de ma part d'écrire avec a

OK !
Dans ce cas oui !

Kaiser

Veux tu détailler cela Kaiser

OK !

Si c est un élément de l'intervalle ]a,b[, on sait que l'application définie sur privé de c par est croissante sur cet ensemble.
En particulier, d'après le théorème de la limite monotone, cette fonction admet des limites à droite et à gauche de c.
Montrons que ces limites sont finies.
si x < c, alors (comme c est différent de b, (b+c)/2 est différent de c et de b) donc la limite à gauche est finie.
si x > c, alors (comme c est différent de de a, alors (a+b)/2 est différent de a et c) donc la limite à droite est finie.

Cela veut donc dire que f admet des dérivées à gauche et à droite de c.
En particulier, elle est continue en c.

Kaiser

En écrivant l'inégalité des trois pentes,on peut obtenir la lipsichitiannité sur tout segment de [a,b] non?


Si [u,v] est un segement de [a,b] et x,y dans [u,v] alors il existe u' et v' tels que :

a<u'<u<x<y<v<v'<b donc:


meme chose dans l'autre sens.

OK Kaiser ;
Peut-on montrer de même que admet une limite à droite de et à gauche de ?

OK, Cauchy !
elhor > je crois bien que c'est vrai ! j'y réfléchis !

Kaiser

Comment on dit je crois que le mot lipschtiziannité n'existe pas

J'ai pourtant eu des profs qui le disent !

Kaiser

Oui moi aussi

Sinon, une autre idée : si on prend 3 points A, B et C d'abscisse xA, xB et xC.

Si on prend un point d'abscisse x compris entre A et B, il existe t dans [0,1] tel que .
Par convexité,

en faisant tendre t vers 0, la membre de droite de l'inégalité tend vers .

Il faudrait trouver maintenant une minoration du même type pour en déduire la continuité à droite, mais j'arriver pas à trouver.

kaiser je comprends pas la conclusion de ta démo :  en quoi le fait que ta fonction admette des dérivées à droite et à gauche de c entraine qu'elle soit continue en c.

Par exemple, l'expression tend vers une limite finie lorsque x tend vers c par valeurs inférieures donc f(x) tend vers f(c) lorsque x tend vers c par valeurs inférieures.
En effet, on a

Ainsi, f est continue à gauche.
De même, f est continue à droite.

Kaiser

ah oui, merci

Une idée pour la question d'elhor?