Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

exos bizarre

Posté par
LERAOUL 01-07-17 à 19:25

salut!
soit [tex]f(z)= \sum_{n=0}^{+00}a _{n}z^{n}[/tex] une fonction holomorphe dans D(0; r).  On suppose que \left|f(z) \right|\leq \frac{\frac{1}{}}{1-\left|z \right|} pour tout  [tex]z[tex] dans D(0; r)[/tex]. montrer  que \left|a_{n} \right|\leq (1+\frac{1}n{})^{n} (n+1)\leq e  (n+1).

Posté par
LERAOULre : exos bizarre 01-07-17 à 19:41

soitf(z)= \sum_{n=0}^{+00}a _{n}z^{n} une fonction holomorphe dans D(0; r).  On suppose que
  \left|f(z) \right|\leq \frac{\frac{1}{}}{1-\left|z \right|} pour tout  [tex]z[tex] dans D(0; r). montrer  que \left|a_{n} \right|\leq (1+\frac{1}n{})^{n} (n+1)\leq e  (n+1)

Posté par
jokassre : exos bizarre 02-07-17 à 00:05

Salut,

je n'ai pas résolut l'exercice mais voici quelques pistes:

exprimer le second facteur de l'inégalité en somme géométrique (en bidouillant le bon truc, je n'ai pas encore réussit ici mais cela doit être un truc comme ça)

Pour prouver la dernière inégalité elle est trivial en remarquant que (1+(1/n))n converge vers e en l'infini (classique) et que la suite est bien une suite croissante (donc majoré par sa limite).

La vraie difficulté est dans la première inégalité; puisque l'on a aucune information sur r, notamment le fait de savoir si il est plus grand que 1 ect.

Posté par
verdurinre : exos bizarre 02-07-17 à 00:34

Bonsoir,
pour compléter le post de jokass ( que je salue ).
La valeur de r n'a aucune importance, pourvu qu'elle soit non nulle. Ceci en vertu du principe du prolongement analytique.

Posté par
etniopalre : exos bizarre 02-07-17 à 00:35

C'est quoi ce ?
Et la proposition ? C'est n ? n ?

En tout cas :
Pour tout s   ]0 , r[   [0 , 1[ et tout n     tu as : |an|    1/(1 - s)sn .
Si tu as manipulé quelques intégrales curvilignes tu devrais pouvoir vérifier que ce que j'avance est vrai ( ou peut-être  faux  )

Posté par
etniopalre : exos bizarre 02-07-17 à 00:38

Pardon !
J'ai cru voir   alors que c'est e .

Posté par
etniopalre : exos bizarre 02-07-17 à 10:29

Si on a :  \left|a_{n} \right|\leq (1+\frac{1}n{})^{n} (n+1) pour n assez grand , le rayon de convergence R de  F := \sum_{n=0}^{+\infty}a _{n}X^{n} est   1 .

Je ne vois pas trop pourquoi si le rayon de    \sum_{n=0}^{+\infty}a _{n}X^{n} est   1  on aurait  \left|a_{n} \right|\leq (1+\frac{1}n{})^{n} (n+1) pour n assez grand  , même en supposant que | \sum_{n=0}^{+\infty}a _{n}z^{n} |\leq \frac{\frac{1}{}}{1-\left|z \right|} pour tout z tel que    |z|  < 1 .


Rechercher
Menu
Espace membre
6 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !