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Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:50

tu as raison, je corrige

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:58

e^{w}=1\iff e^{x+iy}=1\iff e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1\iff\left\lbrace \begin{array}{ll}e^x\cos y=1\quad (*)\\e^x \sin y=0 \quad (**)\end{array}\right.

Puisque e^x>0  (**) et (*) donne y=2k\pi et x=0

...je te laisse finir

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 20:02

Ah je comprends déjà mieux

Comme e^x \sin(y)= 0 on divise par e^x  et on obtient : \sin(y)=0 donc y=2 k \pi

Comme \cos(2 k \pi)= 1 on obtient : e^x = 1 donc \ln(e^x)=x=\ln(1)=0

Du coup ça marche j'ai compris merci beaucoup ça me donne une 2ème méthode différente de la mienne

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 20:12

Non une petite erreur dans ton raisonnement

Puisque e^x>0

e^x\sin y =0 te donne y\in \{k\pi,\;k\in \mathbb{Z}\}



y\in \{k\pi,\;k\in \mathbb{Z}\} et e^x\cos y =1 te donne y\in \{2k\pi,\;k\in \mathbb{Z}\}

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 20:13

je pense que c'est bon maintenant, je te laisse avec ces complexes

à+

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 20:28

Ah merci en effet !

On ne peut pas avoir k impair car sinon on aurait : e^x = -1 ce qui est absurde.

Oui je peux passer à autre chose, les racines carrées de complexes

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 21:21

Ramanujan @ 19-02-2019 à 19:46

Je ne comprends pas cette équivalence :

e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1\iff e^{x}\cos y =1


ne sais-tu pas que \red \bold {1 = 1 + 0i}  

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 21:42

Si mais  l'implication

  e^{x}\cos y =1 \Rightarrow e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1 m'a l'air fausse.

En quoi  e^{x}\cos y =1 donnerait \sin(y)=0 ?

Posté par
luzakre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 08:12

Le "plaisir" de tourner en rond !

Puisque ton livre te donne les propriétés "admises" de l'exponentielle complexe ainsi que les propriétés "admises" des fonctions trigonométriques Il ne reste plus grand chose à faire !
Je n'arrive même pas à comprendre pourquoi on te demande de démontrer quoi que ce soit !

Posté par
jsvdbre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 09:19

Il faut croire qu'il n'y a pas que Ramanujan qui adore tourner en rond ... ses fils font rarement moins de deux pages sur des sujets qui ne nécessitent le plus souvent guère plus de 10 lignes 😂🤣.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 12:51

Oui vous avez raison, je pense que les propriétés de l'exponentielle complexes seront démontrées en 2ème année MP.

Sinon la démonstration de la proposition 2 tient en 1 ligne

Soit z_0 un complexe vérifiant e^{z_0} = a

z= z_0 + 2 k i \pi  \Leftrightarrow e^z = e^{z_0} \times e^{2 k i \pi} \Leftrightarrow e^{z} =  e^{z_0} \Leftrightarrow e^z =a

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 13:06

La premiere equivalence est fausse

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 14:02

Vous voulez dire que l'implication :

e^z = e^{z_0} \times e^{2 k i \pi}  \Rightarrow z= z_0 + 2 k i \pi   est fausse ?

J'essaie de voir pourquoi ...

e^z = e^{z_0} \times e^{2 k i \pi}  \Rightarrow  e^{\Re(z)} e^{ i \Im(z)} = e^{\Re(z_0)} e^{ i \Im(z_0)}

En passant au module on obtient e^{\Re(z)} = e^{\Re(z_0)} soit \Re(z)=\Re(z_0)

Et : e^{ i \Im(z)} = e^{ i \Im(z_0)} donc \Im(z) = \Im(z_0) + 2 k i \pi

Donc on a bien : z = z_0 + 2 k i \pi

Donc je ne comprends pas votre remarque

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 14:16

j'give up pour cette fois ci je laisse les autres répondre désolé

Indice : c'est quoi ton k?

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 14:37

Ah j'ai compris je trouve z=z_0 + 2 i k' et c'est pas le même k que celui de départ !

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 20-02-19 à 14:39

Donc l'équivalence est fausse on trouve un entier k' qui n'est pas forcément égal à k

J'avais bien fait de raisonner par implication au départ !

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