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Exponentielle et nombres complexes

Posté par
manubac 06-06-17 à 12:38

Bonjour,

J'ai dans mes notes :

|\exp( -\jmath 4\pi f t_{0} )| = 1

(Je n'ai tiré que la partie de l'équation qui m'intéresse)

Sauriez-vous m'indiquer pourquoi donc 1 ?

Posté par
lionel52re : Exponentielle et nombres complexes 06-06-17 à 12:56

Tout nombre complexe (non nul) z  s'écrit sous la forme

z = r e^{j \theta} avec

r, réel strictement positif appelé module de z et noté |z| \\
\theta, reél appelé "Un argument de z " (Un parce que z a une infinité d'arguments)

Il vient :
|z| = |r||e^{j\theta}| = |z||e^{j\theta}| et |e^{j\theta}| = 1

Toute la distance de z à l'origine est contenue dans le r
La position de z sur le cercle de centre l'origine et de rayon R est contenue dans le e^{j\theta}


Plus mathématiquement,
Par définition

e^{j\theta} = cos(\theta) + j sin(\theta)
Et
|z|  = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}

D'où |e^{j\theta}| = \sqrt{cos(\theta)^2  + sin(\theta)^2} = 1

Posté par
manubacre : Exponentielle et nombres complexes 06-06-17 à 13:16

Merci beaucoup pour cette explication précise !
Il s'agit donc d'un nombre complexe de module 1, d'où le résultat.


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