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Expression de cos(x)

Posté par
Metaa 27-08-18 à 16:27

Bonjour,

Je me permets de revenir à nouveau vers vous car je me retrouve coincé dans l'expression de cosinus. En effet, je dois dans un premier temps exprimer cos(3x) en fonction de cos(x), puis ensuite en déduire une expression de cos(9x) en fonction de cos(3x)

Dans un premier temps, je pars de cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)
=cos(2x)*cos(x)-2sin(x)*cos(x)*sin(x)
=cos(2x)*cos(x)-2sin^2(x)*cos(x)
=cos(2x)*cos(x)-2*(1-cos(2x))/2 *cos(x)

à partir d'ici, je ne sais pas si je suis parti dans le bon raisonnement, car il me reste des cos(2x) que je ne vois pas comment éliminer.

Je vous remercie d'avance pour vos conseils.

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 16:40

Bonjour

que vaut \cos (2x)  ? ou \cos (x+x)?

Posté par
Glapion Moderateurre : Expression de cos(x) 27-08-18 à 16:40

simplement cos 2x = 2cos² x - 1

ta dernière ligne ne va pas, remplace simplement sin²x par 1 - cos²x

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 17:19

cos(x+x) = cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)

J'ai donc cos(2x)*cos(x)-2(1-cos²x)*cos(x)

= 2cos^3(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos^3(x)
=4cos^3(x)-3cos(x)

Pour ce qui est de l'expression de cos(9x), dois-je partir de nouveau d'une formule d'addition ?

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 17:33

9=3\times 3
donc 9x=3\times 3x

\cos 9x=\cos (3(3x)) on applique le résultat précédent

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 17:52

C'est à dire cos(9x)=cos(3(3x))=3(4cos^3(x)-3cos(x)) ?

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 17:53

Je crois que je confonds avec 3cos(3x)

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 17:54

oui vous avez confondu

utilisez un changement de variable  X= 3x par exemple

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:01

On pose X=3x

cos(9x)=cos(3X)=4cos^3(X)-3cos(X) = 4cos^3(3x)-3cos(3x)

Ais-je fait une erreur ? Est-ce correct au niveau de la rédaction ? (ou faut-il écrire une étape intermédiaire entre le passage de la variable X à 3x ?)

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:11

il faut continuer maintenant  vous connaissez \cos 3x en fonction de \cos x
mais on ne vous le demande pas  ce n'est pas drôle

pas besoin  c'est une facilité de rédaction

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:27

Pourquoi pas ? J'ai essayé d'y réfléchir un peu.

Dans un premier temps, si je développe mon cos(3x), j'ai cos(9x)=4cos^3(3x)-3cos(3x)=4\times cos(3x)\times cos(3x)\times cos(3x)-3\times cos(3x)

Soit 4(4cos^3(x)-3cos(x))^3-3(4cos^3(x)-3cos(x))
=4(64cos^9(x)-27cos^3(x)) - 12cos^3(x)+9cos(x)
256cos^9(x)-120cos^3(x)+9cos(x)

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:28

(J'ai oublié mon = à la dernière ligne)

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:29

Je viens de me relire et je crois avoir écrit un horreur. J'ai une identité remarquable de la forme (a-b)^3

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 27-08-18 à 18:43

oui ce n'est pas  a^3-b^3 mais

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

cos  avec latex s'écrit  \cos  pour que le texte ne soit pas en italique

Posté par
Razesre : Expression de cos(x) 27-08-18 à 19:52

Bonjour,

Metaa @ 27-08-2018 à 18:27

Soit
4(4cos^3(x)-3cos(x))^3-3(4cos^3(x)-3cos(x))
=4(64cos^9(x)-27cos^3(x)) - 12cos^3(x)+9cos(x)
=256cos^9(x)-120cos^3(x)+9cos(x)
Soyons sérieux, tu ne connais pas l'identité remarquablé (a-b)^3=...

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 28-08-18 à 13:41

Je suis en début de sup, l'identité remarquable (a-b)^3 est donc nouvelle pour moi ...

Je recommence le calcul alors

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 28-08-18 à 14:02

nouvelle peut-être mais rien n'empêche de dire que  3=2+1 donc   (a-b)^3=(a-b)^2(a-b)

il fut un temps où cela s'apprenait en seconde  en même temps que (a+b)^2  et les 2 autres

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 29-08-18 à 14:40

Pour l'expression de cos(9x), j'obtiens finalement cos(9x)=256cos^9(x)-276cos^7(x)+432cos^5(x)-120cos^3(x)+9cos(x)

Posté par
Priamre : Expression de cos(x) 29-08-18 à 15:46

Quand on fait  x = 0 , on ne trouve pas  cos(9x) = 1 . . . .

Posté par
Priamre : Expression de cos(x) 29-08-18 à 15:55

C'est seulement que le  276  devrait être  576 .

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 29-08-18 à 16:08

pas tout à fait

pour simplifier je pose y=\cos x

on a donc 4(4y^3-3y)^3-3(4y^3-3y)

4(4^3y^9-3((4y^3)^2\times 3y)+3(4y^3)(3y)^2-(3y)^3)-12y^3+9y

4(64y^9-144y^7+108y^5-27y^3)-12y^3+9y

256y^9-576y^7+432y^5-108y^3-12y^3+9y

256y^9-576y^7+432y^5-120y^3+9y

\cos(9x)= 256\cos^9x-576\cos^7(x)+432\cos^5(x)-120\cos^3(x)+9\cos (x)

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 29-08-18 à 16:09

exact

Posté par
Metaare : Expression de cos(x) 30-08-18 à 17:29

Merci beaucoup pour votre aide, je garderai en tête cette technique de simplification par y qui réduit énormément le risque d'erreur.

Posté par
heklare : Expression de cos(x) 30-08-18 à 18:01

de rien

remarque : «y» était plus rapide à taper que \cos (x)


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