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exprimer en fonction de n

Posté par
stokastik 21-01-07 à 18:37


Bonjour,

Ce problème est issu du problème de dénombrement de ce topic : Arbre mathématiques.

Celui qui le résoudra viendra à l'aide du désespéré posteur dudit topic.

Ca ne doit pas être extrémement difficile mais peut-être délicat, moi je n'ai pas le temps d'y réfléchir pour l'instant.

Celui qui s'y colle est libre de changer les notations.

Pour tout entier k>2 on note 2$A_k=2+3+..+k.

On définit par récurrence (je donne les premiers termes et après j'explique) :

2$\begin{array} \\ S_3=A_3 \\ \\ S_4=A_3+A_4 \\ \\ S_5=(A_3+A_4)+(A_3+A_4+A_5) \\ \end{array}

Le principe de récurrence est le suivant.

On a S_n qui est écrit comme une somme de A_i pour certains i. On définit S_{n+1} en remplaçant dans S_n chaque 2$A_i par 2$(A_3+A_4+\ldots+A_i+A_{i+1}).

Ainsi, comme 2$S_5=A_3+A_4+A_3+A_4+A_5, on a
2$S_6=(A_3+A_4)+(A_3+A_4+A_5)+(A_3+A_4)+(A_3+A_4+A_5)+(A_3+A_4+A_5+A_6)

La quesion est d'exprimer S_n en fonction de n par une formule "directe".

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 22-01-07 à 16:22

Salut,

le plus simple est de commencer par calculer Ak (page jointe) :

exprimer en fonction de n

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 22-01-07 à 16:49


Sn n'est pas la somme partielle des Ak  

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 22-01-07 à 17:00

... ceci dit tu as peut-être fait une partie du travail.

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 22-01-07 à 19:07

Ha Oui ! je n'ai pas bien lu l'énoncé.
En fait, les Sn que j'ai calculé devront être sommés à nouveau pour obtenir la somme de ces sommes. Je n'ai pas le temps de continuer ce soir ni demain. Mais la méthode sera la même. Tu devais pouvoir t'en sortir.

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 22-01-07 à 22:11


Que nenni. Tu dis "la méthode sera la même" je crois que tu t'affirmes encore trop vite, c'est plus compliqué que ça

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 24-01-07 à 13:22


Ce petit problème n'attire personne ? Pourtant marrant à première vue

Posté par
raymond Correcteurre : exprimer en fonction de n 24-01-07 à 13:53

Bonjour.

Voilà où j'en suis. Il est simple de connaître les An. Par contre, il est moins aisé de conaître le nombre de ces An dans Sn. Pour tenter de répondre, je pose :

3$\textrm S_n = a_{n,3}A_3 + a_{n,4}A_4 + ... + a_{n,n-1}A_{n-1} + a_{n,n}A_n.

Alors, on a facilement :

3$\textrm a_{n+1,3} = a_{n,3} + a_{n,4} + ... + a_{n,n-1} + a_{n,n}.
3$\textrm a_{n+1,4} = a_{n,3} + a_{n,4} + ... + a_{n,n-1} + a_{n,n}.
3$\textrm a_{n+1,5} = \ \ \ \ \ \ \ a_{n,4} + ... + a_{n,n-1} + a_{n,n}.
:
:
3$\textrm a_{n+1,n} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{n,n-1} + a_{n,n}.
3$\textrm a_{n+1,n+1} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.

Ce qui ferait penser à une représentation matricielle ?

A plus RR.

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 24-01-07 à 16:28

Dixit stokastik : "Que nenni. Tu dis "la méthode sera la même" je crois que tu t'affirmes encore trop vite, c'est plus compliqué que ça".
Ma réponse : il ne faut quand même pas en faire une montagne !
Sn = 2*((2n-1)!)/(((n-1)!)*((n+1)!))

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 24-01-07 à 16:33


Comment tu as trouvé ça ?

On doit trouver 5, 14, 42, 132 poue les premiers termes.... ça marche!!

Tu ne vas pas me dire que ce n'était pas plus compliqué que la somme partielle des Ak ?

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 25-01-07 à 17:09

Bonjour,

Non, je ne dirai pas que " que ce n'était pas plus compliqué que la somme partielle des Ak "
Mais c'est assez simple lorsqu'on a bien compris l'énoncé de la question et surtout le mécanisme de la récurrence.
En fait, c'est beaucoup plus compliqué à expliquer qu'à comprendre : j'ai eu du mal à donner une vision claire de ce qui me semblait relativement évident après avoir construit le tableau à double entrée, comme on le fait habituellement dans ces cas là.
J'espère que l'explication, donnée sur les 3 pages jointes, suffira.
Première page : La formule de récurrence.

exprimer en fonction de n

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 25-01-07 à 17:11

Deuxième page : Le tableau des coefficients

exprimer en fonction de n

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 25-01-07 à 17:15

Troisième page : formulation des coefficients et des sommes.

exprimer en fonction de n

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 25-01-07 à 17:26

il y a plusieurs coquilles et fautes d'orthographe à la recopie ( "éyant" !!! au lieu de "ayant")
Surtout, à la deuxième page, c'est : "de droite à gauche" et pas ce qui est écrit.

Posté par
JJare : exprimer en fonction de n 25-01-07 à 17:31

J'ai oublié de signaler la limite inférieure de validité de la formule des coefficients : La formule s'applique pour k>3.
Pour k=3, on a évidemment c_(3,n) = c_(4,n)

Posté par
stokastikre : exprimer en fonction de n 26-01-07 à 09:38


Mortel JJa. Très beau travail


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