Je suppose que f est une application de dans   de classe C2 au moins, que a = Sup(|f|) et b = Sup(|f "|) sont des réels > 0
.Supposons f ' non bornée . Quitte à remplacer f par -f on peut supposer (et on le fera) que Sup(f ') = + .
f ' étant continue (donc bornée sur tout compact de ) il existe des suites u : n + telles que u(n) tende vers + en croissant et telle que n c(n) := f '(u(n)) arrive dans + et tende aussi vers + en croissant .
Pour chaque entier n soit t(n) > 0 tel que c(n)/2 f '(x) 3c(n)/2  pour x [u(n)-t_n , u(n)+t_n] .
_u(n)^u(n)+t(n) f " = f '(u(n)+t(n)) - f '(u(n)) = f '(u(n)+t(n)) - c(n) et -c(n)/2 f '(u(n)+t(n)) - c(n) 3c(n)/2 - c(n) = c(n)/2 .
On a donc 0   c(n)/2 |_u(n)^u(n)+t(n) f "| bt(n) donc t(n) c(n)/2b
Mais  f(u(n)+t(n)) - f(u(n)) = _u(n)^u(n)+t(n) f ' t(n)c(n)/2 (c(n))²/4b et alors comme 0 f(u(n) f(u(n)+t(n)) a on a : (c(n))² 4ab .
C'est contradictoire avec c(n) +          

Bonjour et désolé de déterrer ce topic mais j'ai une question concernant l'exercice.

Je tente de le résoudre mais en utilisant les accroissement finis (indication donnée dans l'énoncé), mais je n'y arrive pas, voici ce que j'ai fait:

f C²(,)

Soit x₀, on applique le théorème des accroissements finis sur le segment [x₀ , x₀ + 1]
x₁      f(x₀+1) - f(x₀) = f(x₁)

On applique de même à f' et au segment [x₁ , x₁+1]
   x₂      f'(x₁+1) - f'(x₁) = f"(x₂)

Je trouve donc que: f'(x₁+1) = f"(x₂) +  f(x₀+1) - f(x₀)
et donc que |f'(x₁+1)| M   (avec m = sup f" )



Mais je ne vois pas trop comment faire pour montrer que x1 peut prendre toutes les valeurs de .

Bonsoir ;

C'est une application classique de la formule de Taylor-Lagrange :

Pour et on a simultanément et

d'où par différence

et donc où et

on conclut alors facilement que

et une petite étude de fonction (par exemple) donne _{sauf erreur bien entendu}

Merci elhor_abdelali, je connaissais cette démo mais je ne m'en souvenais plus trop ^^'. Mais là l'exercice le demande avec les accroissements finis seulement je n'arrive pas à trouver avec ce théorème, car pour trouver le résultat avec le th de taylor lagrange il faut aller au rang 2 or les accroissements finis c'est taylor lagrange à l'ordre 1. Aurais tu une idée s'il te plait?

OK !

On se donne et on considère la fonction . On a d'après les accroissements finis

donc c'est à dire

et donc , toujours d'après les accroissements finis , c'est à dire

ce qui donne ... _{sauf erreur bien entendu}

Merci bien! Je m'acharnais à prendre un intervalle [x ; x+1] et la fonction f pour appliquer les accroissements finis mais cela ne servait à rien, merci encore =).

Bonjour,
ça n'a pas été précisé alors je tiens à le faire parce que c'est quand même important.

La condition de f" bornée est importante parce que si f(x)=sin(1/x) on a
f'(x)=-cos(1/x)/x^2 qui n'est clairement pas bornée alors que f l'est.

Une fonction peut donc être bornée sans que ses variations le soient, ce qui est quand même naturel, on peut faire des oscillations de plus en plus rapprochées et de même hauteur pour s'en convaincre. C'est ce que fait la fonction que je donne plus haut.

Ce poste répond à la remarque de solidcash qui pensait que ce n'était pas nécessaire d'avoir f'' bornée.

Bonjour ;

C'est exact otto je n'avais pas bien lu le post de solidcash !

Pas de problème, je voulais que ce soit clair pour ceux qui auraient pu continuer à penser qu'une seule des condition était suffisante.

Bonsoir ,
je ne veut pas faire un autre topic qui parle de la même chose , donc je voudrais juste poser une petite question :
d'ou vient l'idée de poser la fonction par  elhor_abdelali  pour appliquer le théorème des accroissements finis .
Merci d'avance

Bonsoir hiimgosu
Le but est de "choper" f' et de regarder sa bornitude.
Or choper f' en un point x donné, c'est regarder le comportement du rapport (f(x+h) - f(x))/h.
Le TAF dit que si f' est borné pour tout x réel, alors ce rapport l'est également pour tout x et h réel (h 0).
Mais l'inverse n'est pas forcément vrai dans la mesure où la dérivée n'existe pas toujours en tout point (cf la valeur absolue en 0)
Mais là, comme f'' existe, si ce rapport est borné alors f', qui existe en tout point, l'est aussi. D'où l'idée de le comparer à f' en se débarassant en plus du problème h = 0 en posant

Bien entendu, à rapprocher de Fonctions réelles