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Facteur irréductible sur F_27

Posté par
H_aldnoer
01-03-08 à 20:00

Bonsoir,

je bloque sur une petite question à la fin d'un problème.
On montre que le polynôme X^6+X^4+X^3+X^2-X-1\in\mathbb{F}_3[X] n'a pas de racines dans \mathbb{F}_{27}. (fait)

On me dit alors que cela implique qu'il est irréductible dans \mathbb{F}_{3}.
Sinon il aurait un facteur irréductible de degré 1,2 ou 3 et donc une racine dans \mathbb{F}_{3}, \mathbb{F}_{9} ou \mathbb{F}_{27}.

C'est ce raisonnement que je ne comprend pas.
S'il est réductible, je suis d'accord qu'il a un facteur irréductible de degré 1,2 ou 3.

Mais après

Posté par
lolo217
re : Facteur irréductible sur F_27 01-03-08 à 20:02

c'est toujours pareil s'il a un facteur irréductible de degré d alors ce facteur défini le corps  Fp^d  (Fp[X]/Q(X)) .

Posté par
H_aldnoer
re : Facteur irréductible sur F_27 01-03-08 à 20:12

S'il a un facteur irréductible de degré 2 par exemple notons le A(X) alors \mathbb{F}_3[X]/(A(X))=\mathbb{F}_3[x]=\mathbb{F}_{3^2} où x est une racine de A.

Donc il a bien une racine x dans \mathbb{F}_9, c'est ça ???

Posté par
lolo217
re : Facteur irréductible sur F_27 01-03-08 à 20:21

oui

Posté par
H_aldnoer
re : Facteur irréductible sur F_27 01-03-08 à 20:22

Sympa le truc, merci.



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