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Niveau maths sup
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factorisation

Posté par
Yosh2
23-02-21 à 21:15

bonsoir
je dois factoriser les polynomes suivants dans C puis dans R
1/  X10+X5+1
2/  X6+9X4+27X2+27
3/  5X4-4X3+6X2-4X+1
4/  X5+X4+2X3+2X2+X+1

1/ j'ai d'abord cherché les racines de X2 +X+1 je trouve ei2/3 et e-i2/3 puis j'ai cherche les racine 5 eme de ces derniers je trouve au final P(X) = (X-ei2(3k+1)/15)(X-e-i2(1-3k)/15 )avec k de 0 a 4 , mais je n'arrive pas a passer dans R

2/j'ai trouve que i3 et -i3 etait des racines triples
donc P(x) = (X-i3)3(X+i3)3 dans C , puis P(X) = (X2+3)3 dans R

3/je trouve P(X) = (X-i)(X+i)(5X2-4X+1) puis en resolvant l'equa du second degre les sols sont (2-i)/5 et (2+i)/5 mais ducoup en factorisant P(X) = (X-i)(X+i)(X-(2+i)/5)(X-(2-i)/5) je ne trouve pas le coeff dominant de P ?? dans R je suppose que c'est P(X)=(X2+1)(5X2-4X+1)

4/ i et -i  sont des racines doubles et -1 est simple, dans C P(X) = (X-i)2(X+i)2(X+1)  et dans R P(X) = (X2+1)2(X+1)

pour la factorisation des polynomes y-a-t-il d'autres reflexes a avoir a part la recherche de racines?
merci

Posté par
lafol Moderateur
re : factorisation 23-02-21 à 22:03

Bonjour
pour passer de C à R : regrouper les facteurs conjugués

Posté par
lafol Moderateur
re : factorisation 23-02-21 à 22:05

pour un trinome ax²+bx+c dont les racines sont y et z, la factorisation est a(x-y)(x-z), ne pas oublier le a

Posté par
carpediem
re : factorisation 24-02-21 à 10:10

salut

Yosh2 @ 23-02-2021 à 21:15

pour la factorisation des polynomes y-a-t-il d'autres reflexes a avoir a part la recherche de racines?
merci
oui : somme des termes d'une suite géométrique, idnetité remarquable, binome de Newton, factorisation partielle ...

ainsi par exemple :

P(x) = x^{10} + x^5 + 1 = \dfrac {x^{15} - 1} {x^5 - 1} donc les racines de P sont les racines quinzième de l'unité qui ne sont pas racines cinquième de l'unité ...

mais c'est équivalent à ce que tu as fait ...



P(x) = x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27 = (x^2)^3 + 3 \times 3 \times (x^2)^2 + 3 \times 3^2 \times x^2 + 3^3 = (x^2 + 3)^3  binome de Newton


P(x) = 5x^4 -4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 4x^4 + x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 4x^4 + (x - 1)^4 = 4x^4 - i^2(x - 1)^4 = [2x^2 - i(x - 1)^2][ 2x^2 + i(x - 1)^2] = ...

et on est ramené à des polynomes du second degré ...


P(x) = x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x + 1 = x^4(x + 1) + 2x^2(x + 1) + x + 1 = (x + 1)(x^4 + 2x^2 + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)^2

Posté par
Yosh2
re : factorisation 24-02-21 à 10:14

Bonjour
Pour regrouper les termes conjugués lorsqu'ils sont explicités j'arrive à le faire mais la au sein des termes de la somme , je n'arrive pas à distinguer les termes conjugués.
Aussi pour le coefficient dominant, c'est donc à moi de le rajouter ? Je m'attendais à le voir apparaître en facteur après factorisation.
Merci

Posté par
carpediem
re : factorisation 24-02-21 à 10:36

je ne comprends rien à ce que tu dis ...

Posté par
Yosh2
re : factorisation 24-02-21 à 10:44

Bonjour
Désolé, carpediem, je répondais à lafol concernant mon premier message , sinon merci pour l'illustration des autres réflexes a avoir : binôme de Newton, suite géométrique , identité remarquable...
Même s'il faut reconnaître que remarquer la forme développe du binôme n'est pas chose aisé
Merci

Posté par
carpediem
re : factorisation 24-02-21 à 11:04

il faut connaitre les quatre premiers !!! et ça fait travail la mémoire !!

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1

c'est le triangle de Pascal



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