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Flux d'un champ vectoriel

Posté par
jimijims 31-05-15 à 17:23

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comme calculer le flux d'un champ de vecteur à travers une surface svp ?
Je n'arrive pas à comprendre...

Je sais que si v est un champ vectoriel et n la normale unitaire d'une surface S, alors flux = \int\int_S \langle v;n \rangle d\sigma mais après je ne comprends pas comment continuer...

Je ne sais pas non plus quand est-ce qu'on passe en coordonnées cylindriques, polaires, sphériques ou si c'est utile...
Je suis complètement largué dans ce chapitre d'intégrales de surface...

Lors de mon rattrapage, j'aurai des énoncés de ce genre : "Calculer le flux du champ de vecteur \vec{v} = (x;0;0) à travers l'hémisphère S définie par x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 1, z \geqslant 0".

Apparement y'a des liens avec la physique pour ce chapitre, par contre je n'ai pas fait de physique depuis ma classe de seconde (et mon niveau de physique approximait le 3/20..), donc si je peux avoir des explications juste mathématiques ca serait parfait

Merci d'avance

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 17:36

Ben c'est juste calculer l'intégrale d'une fonction sur une surface.
Pour ton exemple, le vecteur unitaire normal sortant à la sphère au point (x,y,z) est simplement (x,y,z).
Tu as donc juste à calculer l'intégrale de x^2 sur l'hémisphère.
Pas de physique là-dedans.

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 17:44

Merci de m'avoir répondu !

Sauf que je ne sais pas comment calculer une intégrale sur l'hémisphère...
Je sais que la réponse est \dfrac{2\pi}{3} cependant je ne comprends aucun calcul de la correction...
Est-ce toujours de cette façon qu'il faut faire ? J'ai trouvé que très peu d'exemples sur le net...
Et comment savoir si ma normale unitaire est dirigée vers l'extérieur ou l'intérieur ? Ici le problème ne se pose pas mais je l'ai déjà vu dans certains exercices...

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 17:50

Citation :
ce chapitre d'intégrales de surface...

Citation :
je ne sais pas comment calculer une intégrale sur l'hémisphère...

C'est pourtant l'objet du chapitre de ton cours, non ? La solution : étudier sérieusement ce chapitre.

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 17:58

Ce n'est pas une question de ne pas étudier sérieusement...

Mon prof n'était pas au courant du changement de programme du module, du coup mon cours porte sur les équations aux dérivées partielles et intégrale double et triple, alors que mon examen est sur les intégrales curvilignes et de surfaces et nous n'avons que les annales corrigés pour comprendre cette partie...

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 18:31

Très curieux. Le prof qui fait le cours ne fait pas le sujet d'examen ? Où étudies-tu ?

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 18:43

Si c'est lui qui fait le sujet de l'examen mais en relation avec le nouveau programme et non l'ancien (difféomorphisme, équations aux dérivées partielles...) qu'on a fait jusque début Avril A lille

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 18:49

Encore plus curieux. Le prof fait un examen sur une partie qu'il n'a pas traitée (d'après ce que tu dis).

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 18:52

Ca a été "traité" à travers 2 exemples, c'est pas ce que je considère le mieux pour comprendre les choses
Enfin bref, je suis surtout ici pour essayer de comprendre, pas pour parler de ma fac.

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 18:57

Revenons à ta question

Citation :
je ne comprends aucun calcul de la correction...

Comme on n'a pas la correction, comment veux-tu qu'on puisse t'expliquer ?
Et ça ne servirait à rien de faire un autre corrigé que tu ne comprendrais pas plus.
Alors, sois plus explicite.

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 19:11

Je te remercie

Je rente l'hémisphère S du premier message : x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 1, z \geqslant 0
D'après le corrigé il faut intégrer \displaystyle \int \int_S x^2 d\sigma par la projection sur le plan yz (déjà là je ne comprends pas pourquoi).
On pose S = S_1 \cup S_2 (Pourquoi ?) où S_1 = \{x = \sqrt{1 - y^2 - z^2}\} et S_2 = \{x = - \sqrt{1 - y^2 - z^2}\} puis on fait un changement en coordonnées polaires, puis on calcule une intégrale double (ça je sais faire, c'est surtout à partir de \displaystyle \int \int_S x^2 x\sigma que je ne comprends plus... Ce qui me trouble encore plus c'est qu'en cherchant d'autres exercices (livres, internet...) j'ai l'impression que ce n'est jamais la même chose à faire du coup je suis perdu...

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 19:55

Il y a une incohérence dans ce que tu écris : les inégalités x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 1, z \geqslant 0 ne décrivent pas une hémisphère (surface), elles décrivent une demi-boule (volume). L'hémisphère, c'est x^2 + y^2 + z^2 = 1, z \geqslant 0
Ensuite, le flux est donné par l'intégrale de surface \iint_S x^2\, \mathrm{d}\sigma, j'ai déjà dit pourquoi.
Après, le calcul de cette intégrale de surface peut se faire de diverses façons. Ton corrigé le fait d'une manière, on peut aussi procéder en faisant des tranches à x= constante : l'aire de la petite bande d'hémisphère entre x et x+dx est \pi \sqrt{1-x^2} (demi-circonférence du cercle de rayon \sqrt{1-x^2}) fois \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x (la largeur de la bande). On a donc à calculer
\int_{-1}^1 x^2\,\pi\sqrt{1-x^2}\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\pi\int_{-1}^1 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac23\pi.

Posté par
jimijimsre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 20:23

Oui excuse moi, erreur de recopie pour mon l'hémisphère.

J'ai l'impression d'être un idiot car je comprends pas...
Je comprends que tu veuilles prendre le petite bande d'hémisphère entre x et x + dx, par contre pourquoi le rayon vaut \sqrt{1 - x^2} ? La largeur de la bande je ne comprends pas non plus... Et mon flux, concrètement ca représente quoi pour l'hémisphère ?

Posté par
Robotre : Flux d'un champ vectoriel 31-05-15 à 20:45

Flux d\'un champ vectoriel


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