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Fonction

Posté par
Nerf 28-07-23 à 01:13

Bonjour, svp j'ai besoin d'aide.

Il est question de trouver toutes les fonctions continue sur [0,1] telles que f(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(x^n)}{2^n}

J'ai voulu passer par l'analyse synthèse en fixant certaines valeurs à x a l'instar de 0 et 1 mais ça ne donne rien. Ne sachant pas quoi faire, j'ai dérivé f (bien que rien ne laisse dire que  f est dérivable) et en remplaçant x par 0 et 1, on voit que f'(0)=f'(1)=0, je ne sais plus quoi faire...

Une autre question : lorsqu'on a une fonction de la forme f(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x), à quelle condition est elle derivable? Lorsqu'elle est dérivable, peut-on toujours introduire la dérivée dans la somme comme pour les séries entières ?

Posté par
lionel52re : Fonction 28-07-23 à 09:54

Pour la 2e question le critère le plus simple pour avoir ce que tu as est :

\sum f_n converge simplement sur I

\sum f_n' converge normalement sur I (ou uniformément)

Posté par
Nerfre : Fonction 28-07-23 à 12:32

D'accord merci pour ta réponse.

Posté par
thetapinch27re : Fonction 28-07-23 à 21:32

Bonsoir,

Quelques indications pour le 1)

* Utiliser le fait que f possède un minimum m et un maximum M
* Que dire à propos de f(xM), f(xm) ?
-> Cas 1 : xm ou xM est dans ]0,1[
-> Cas 2 : xm et xM = 0 ou 1

Bon courage

Posté par
larrechre : Fonction 28-07-23 à 22:11

Bonjour,

Sauf erreur, je pense qu'on peut montrer que f ne peut être strictement monotone.

Posté par
GBZMre : Fonction 29-07-23 à 08:29

Bonjour,
J'avais pensé aux indications données par thetapinch27, mais à mon avis ça ne mène pas très loin. Il pourra toujours me démentir.
Une autre voie qui aboutit :
Fixons \epsilon >0. Puisque f est continue, il existe \eta>0 tel que, pour tout x\in [0,\eta], on a |f(x)-f(0)|\leq\epsilon.
Soit m la borne supérieure des y\in [0,1] tels que pour tout x\in [0,y], on a |f(x)-f(0)|\leq\epsilon. Que peut-on dire de m ?

Posté par
thetapinch27re : Fonction 29-07-23 à 09:18

Bonjour,

L'expression de f est une sorte de moyenne des f(xn). Si on prend x=xm ou x=xM on montre que tous les f(x^n) doivent valoir m (ou M) et idem pour f(0) par continuité.

Donc sauf erreur:
* si m et M sont dans ]0,1[ on montre que f(0) est à la fois égal à m et à M (on utilise la continuité en 0) sinon on ne peut pas garantir l'expression de f de l'énoncé. Ce qui conclut.
* si xm ou xM = 0 alors c'est pareil on calcule le f(l'autre) avec la formule et on montre que  f(0) qui doit valoir m et M.
* sinon (xm ou xM = 1), alors f est monotone en calculant f(l'autre). Mais f ne peut pas être strictement monotone comme le remarque larrech (ce qui se démontre assez facilement).

Posté par
GBZMre : Fonction 29-07-23 à 10:31

Citation :
sinon (xm ou xM = 1), alors f est monotone

Pourquoi ?

Posté par
thetapinch27re : Fonction 29-07-23 à 11:03

Effectivement GBZM, l'argument à lui seul est insuffisant pour prouver la monotonie. Merci pour la remarque. En fait on n'en a pas besoin pour terminer.

Supposons xM=1 (ça sera la même si xm=1)
* Si xm=1 également alors c'est terminé, f est constante (et réciproquement, les fonctions constantes conviennent)

* Si xm<1:
alors f(xm)=m
Mais f(xm) = m = Somme(etc...)
Mais cela impose f(xmn)=m pour tout n
Donc par continuité f(0)=m donc f est minimale en 0.

Prenons un intervalle [0,a] où a<1.
f y admet un maximum M2
f(M2) = somme (...) donc f(0)=M2 donc m=M2 donc f est constante sur tout intervalle de la forme [0,a] où a<1

C'est le même raisonnement si xm=1

Donc par continuité on conclut.

Posté par
GBZMre : Fonction 29-07-23 à 11:30

OK, ça marche. Mais je préfère tout de même la voie que j'ai indiquée ici Fonction.
On remarque tout d'abord que la condition imposée à la fonction f peut s'écrire f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{2^{n}}f(x^{n+1})
Supposons m<1 (le m introduit dans mon premier message). Alors m<\sqrt{m}<1 et pour tout x\in [0,\sqrt m] on a x^{n+1}\in [0,m] pour tout entier n\geq 1 et donc |f(x)-f(0)|\leq\epsilon. Ceci contredit la définition de m.
Donc |f(x)-f(0)|\leq\epsilon pour tout x\in [0,1] et comme ceci vaut pour tout \epsilon >0, f est constante.

Posté par
Nerfre : Fonction 29-07-23 à 22:30

Merci à vous tous pour vos réponses.

Posté par
carpediemre : Fonction 30-07-23 à 20:13

salut

GBZM : pourquoi a-t-on :

GBZM @ 29-07-2023 à 11:30

On remarque tout d'abord que la condition imposée à la fonction f peut s'écrire f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{2^{n}}f(x^{n+1})


ensuite en supposant cela vrai (et je te fais confiance ) alors ne pourrait-on pas raisonner ainsi :

pour tout x < 1 et par récurrence on en déduit que pour tout m : f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{2^{n}}f(x^{n+m})

et en faisant tendre m vers l'infini alors f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{2^{n}}f(0) = f(0)

et par continuité de f on en déduit aussi que f(1) = f(0)


ce raisonnement est-il correct ?

Posté par
GBZMre : Fonction 30-07-23 à 22:04

carpediem :
En soustrayant \dfrac12 f(x) de chaque côté et en multipliant par 2, j e passe de
f(x)=\dfrac12f(x)+ \dfrac14 f(x^2) +\dfrac18 f(x^3)+\dfrac1{16}f(x^4)+\cdots
à
f(x)=\dfrac12 f(x^2) +\dfrac14 f(x^3)+\dfrac1{8}f(x^4)+\cdots
"par récurrence on en déduit que " : ben non !

Posté par
carpediemre : Fonction 31-07-23 à 14:14

ok merci GBZM


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