Bonjour, svp j'ai besoin d'aide.
Il est question de trouver toutes les fonctions continue sur [0,1] telles que
J'ai voulu passer par l'analyse synthèse en fixant certaines valeurs à x a l'instar de 0 et 1 mais ça ne donne rien. Ne sachant pas quoi faire, j'ai dérivé f (bien que rien ne laisse dire que f est dérivable) et en remplaçant x par 0 et 1, on voit que f'(0)=f'(1)=0, je ne sais plus quoi faire...
Une autre question : lorsqu'on a une fonction de la forme , à quelle condition est elle derivable? Lorsqu'elle est dérivable, peut-on toujours introduire la dérivée dans la somme comme pour les séries entières ?
Pour la 2e question le critère le plus simple pour avoir ce que tu as est :
converge simplement sur
converge normalement sur (ou uniformément)
Bonsoir,
Quelques indications pour le 1)
* Utiliser le fait que f possède un minimum m et un maximum M
* Que dire à propos de f(xM), f(xm) ?
-> Cas 1 : xm ou xM est dans ]0,1[
-> Cas 2 : xm et xM = 0 ou 1
Bon courage
Bonjour,
J'avais pensé aux indications données par thetapinch27, mais à mon avis ça ne mène pas très loin. Il pourra toujours me démentir.
Une autre voie qui aboutit :
Fixons . Puisque est continue, il existe tel que, pour tout , on a .
Soit la borne supérieure des tels que pour tout , on a . Que peut-on dire de ?
Bonjour,
L'expression de f est une sorte de moyenne des f(xn). Si on prend x=xm ou x=xM on montre que tous les f(x^n) doivent valoir m (ou M) et idem pour f(0) par continuité.
Donc sauf erreur:
* si m et M sont dans ]0,1[ on montre que f(0) est à la fois égal à m et à M (on utilise la continuité en 0) sinon on ne peut pas garantir l'expression de f de l'énoncé. Ce qui conclut.
* si xm ou xM = 0 alors c'est pareil on calcule le f(l'autre) avec la formule et on montre que f(0) qui doit valoir m et M.
* sinon (xm ou xM = 1), alors f est monotone en calculant f(l'autre). Mais f ne peut pas être strictement monotone comme le remarque larrech (ce qui se démontre assez facilement).
Effectivement GBZM, l'argument à lui seul est insuffisant pour prouver la monotonie. Merci pour la remarque. En fait on n'en a pas besoin pour terminer.
Supposons xM=1 (ça sera la même si xm=1)
* Si xm=1 également alors c'est terminé, f est constante (et réciproquement, les fonctions constantes conviennent)
* Si xm<1:
alors f(xm)=m
Mais f(xm) = m = Somme(etc...)
Mais cela impose f(xmn)=m pour tout n
Donc par continuité f(0)=m donc f est minimale en 0.
Prenons un intervalle [0,a] où a<1.
f y admet un maximum M2
f(M2) = somme (...) donc f(0)=M2 donc m=M2 donc f est constante sur tout intervalle de la forme [0,a] où a<1
C'est le même raisonnement si xm=1
Donc par continuité on conclut.
OK, ça marche. Mais je préfère tout de même la voie que j'ai indiquée ici Fonction.
On remarque tout d'abord que la condition imposée à la fonction peut s'écrire
Supposons (le introduit dans mon premier message). Alors et pour tout on a pour tout entier et donc . Ceci contredit la définition de .
Donc pour tout et comme ceci vaut pour tout , est constante.
salut
GBZM : pourquoi a-t-on :
carpediem :
En soustrayant de chaque côté et en multipliant par 2, j e passe de
à
"par récurrence on en déduit que " : ben non !
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