je n aucune idee de la suite est ce que tu peux terminer votre demarche svp @jsvdb
, je me suis trompé ?
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Niveau Licence Maths 1e ann
fonction analytique
Posté par warso
bonsoir,
z 
\{1} , f(z) = sin(1 \(z-1) ) , montre que f est analytique sur [/smb]\{1}
merci d avance
Bonsoir warso.
Commences déjà par voir que est développable en série entière sur
et que par suite, la composition avec la fonction
l'est aussi.
Tu prends alors et tu appliques ton cours.
d`accord , donc le rayon de convergence de f sera le min des rayon de convergence qui est egale 1 n est ce pas ?
Simplement, tu écris, pour .
Tu vois donc que pour c'est-à-dire pour
, la fonction
est représentable en série entière de la manière suivante :
si sur
, alors
pour
.
Il suffira de composer ensuite avec la fonction , qui, elle, est analytique sur
.
pourtant il est claire que -1 / (1-z) est developpable en serie entiere sur D(0,1) et sin (z) sur alors forcement f est developpable en D(0,1) 
. que pensez vous de mon idee?
J'ai tout dit ... !
La composée de deux fonctions analytiques est analytique (le tout est d'avoir bien défini les domaines des deux fonctions que l'on compose).
est analytique sur
, on a vu que
était analytique sur
donc
est analytique sur
.
Après, peut-être, comme dit etniopal, te faudra-t-il revoir la définition de " est analytique sur
" !?
Ici, ce que l'on dit, c'est que pour tout ,
est développable en série entière sur le disque de centre
et de rayon
. C'est-à-dire que cette fonction peut être représentée par une série dans le disque en question : on peut se poser la question de la convergence au bord du disque, mais on ne pourra pas aller plus loin. Cette fonction ne pourra donc pas être représentée par une série entière dans
tout entier : c'est ce que nous dit le théorème d'unicité du prolongement analytique.
Autant que je sache si U est un ouvert de et si f: U 
est dérivable alors f est analytique .
Ici U := \{1} , z 
1/(z - 1) est dérivable sur U et sin l'est sur et on sait que la composée de 2 dérivables l'est aussi.
Je ne vois pas où tu parles de dérivabilité .
Tu as embrayé tout de suite sur "développable en série entière " ( et sur sur D(0,1) en plus ) , notion que warso semble ne pas maîtriser .
D'accord, je vois où tu veux en venir.
Mais bon, c'est vrai que j'ai supposé tacitement connu les équivalences sur un ouvert : holomorphe 
analytique DSE. Tout ceci étant dit, j'aurai mieux fait de procéder dans l'ordre (comme avait commencé TP).
Donc plan récapitulatif :
1- On dit que la fonction est holomorphe sur
(dire pourquoi éventuellement). A partir de là :
2- soit on applique le cours : on dit donc que cette fonction est analytique sur soit
2- on connait juste la définition d'analytique et on écrit ce que j'ai écrit 09-03-17 à 16:51 avec la connaissance de l'analycité de cette fonction sur D(0,1) et on conclut sur l'analycité de la fonction sur
(NB : ne pas pas connaître DSE et connaître l'analycité semble incompatible)
3- On conclut avec par composition.