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fonction analytique et primitive holomorphe

Posté par
letonio 17-05-07 à 23:42

Bonjour tout le monde,
Il y a encore un point pas clair pour moi.
J'avais compris que toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe.
Pour moi si f est holomorphe sur D, elle y est analytique.
Donc pour tout z0 dans D il existe un R>0 tq
f(z)= an (z-z0)^n   |z-z0|<R

donc f admet une primitive holomorphe si on intègre le tout. (Et on peut le faire puisque l'on a la convergence normale sur D(z0,R) )


pourtant si on prend z->1/z holomorphe dans C* elle n'admet pas de primitive holomorphe dans C*.

Pourriez-vous m'indiquer où est mon (ou mes) erreur?

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:47

Citation :
J'avais compris que toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe.


Salut letonio,

Ca c'est faus en général si tu supposes ton ouvert seulement connexe.

Pour que f admette des primitives dans U, il faut que U soit simplement connexe et que f soit continue sur U

Cependant, on peut aussi définir des primitives locales.

Exemple : si U ouvert, il existe un disque contenu dans U (ce disque étant un convexe donc un connexe) sur lequel f admet des primitives d'après la définition que je viens de te donner.

Voilà en espérant d'avoir aidé

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:48

Je vois que kaiser est connecté : si tu pouvais regarder si je n'ai pas dit de bêtises


Par contre je n'ai pas suivi ton raisonnement letonio


Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:48

Bonsoir letonio

Citation :
J'avais compris que toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe.


justement, ceci est totalement faux. Il faut des hypothèses supplémentaire sur la fonction ou sur le domaine que l'on considère.

De plus, lorsque tu intègres, tu construis une fonction qui est primitive de f mais uniquement localement.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:52

fusionfroide > en fait, l'hypothèse de simple connexité n'est pas une condition nécessaire mais uniquement suffisante.
En effet, la fonction \Large{z\mapsto \frac{1}{z^{2}}} admet des primitives holomorphes sur \Large{\mathbb{C}^{\ast}} qui n'est pas simplement connexe.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:52

Citation :
en fait, l'hypothèse de simple connexité n'est pas une condition nécessaire mais uniquement suffisante.


Est-ce que tu parles dans le cas général où alors dans le cas de l'exemple de letonio ?

Car je n'ai pas suivi son raisonnement.

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:54

ok tu parlais dans le cas général.

Peux-tu me donner une condition nécessaire dans ce cabbs ?

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:54

*cas

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:55

je parle du cas général mais je crois que letonio fait aussi référence au cas général.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:56

Citation :

Peux-tu me donner une condition nécessaire dans ce cas ?


Au cas où tu l'aurais zappé

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:58

On en avait déjà parlé au fait : [Analyse] Primitives de fonctions holomorphes

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:59

Je crois que la condition nécessaire est d'avoir un résidu nul en chaque pole éventuel qui se trouverait dans un "trou" de l'ouvert (car en fait, le terme qui pose réellement problème est le terme en 1/z du développement de Laurent)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 17-05-07 à 23:59

oui, effectivement !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:00

Citation :
Je crois que la condition nécessaire est d'avoir un résidu nul en chaque pole éventuel qui se trouverait dans un "trou" de l'ouvert (car en fait, le terme qui pose réellement problème est le terme en 1/z du développement de Laurent)


Jamais vu
Dommage ça avait l'air intéressant !

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:12

En même temps, si l'on y réfléchit, c'est assez logique mais pour le mettre en forme c'est une autre histoire.
L'idée est la chose suivante : au voisinage d'un point à problème (disons 0 pour faire simple) en considérant le développement de Laurent, la fonction s'écrit a/z+g(z) où le développement de g(z) ne comporte pas de terme en 1/z.
ON peut donc intégrer ce développement car chaque terme est de la forme \Large{a_{k}z^{k}} avec k différent de -1 que l'on peut intégrer en \Large{\frac{a_{k}}{k+1}z^{k+1}} (ceci est possible car k+1 est non nul).

On peut donc intégrer f si seulement si a=0

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:14

Je ne vois pas très bien comment tu conclus ... car 1/z n'admet pas de primitive dans C* ?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:16

oui ! (ou plus précisément sur aucun voisinage ouvert de 0 privé de )

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:19

dans ce cas j'ai bien compris ta démo !

C'est passionnant cette théorie de l'analyse complexe !

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:20

eh oui ! :D

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:22

As-tu déjà eu l'occasion d'étudier la théorie de l'analyse complexe à plusieurs variables ?

D'après mon prof, il reste beaucoup de choses à découvrir !

Mais je ne sais pas si tu continues l'analyse complexe en licence...

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:23

Si je vous dis ça c'est que j'ai un théorème qui me dit cela

soit f(z)= \sum a_k(z-z_0)^k
a) les deux séries entières associées à f par les formules f'(z)= \sum a_kk.(z-z_0)^{k-1}  et F(z)=\sum a_k1/(k+1).(z-z_0)^{k+1} ont le même rayon de convergence que f
b) Les trois fonctions f f' et F sont holomorphes dans leur disque de convergence commun et f' y est la dérivée de f tandis que f y est la dérivée de F


Donc à partir de ce théorème, je ne comprends pas ce que vous m'avez expliqué.
Je ne comprends sans doute pas bien ce que dit le théorème.
Dans mon cours on me dit également que toute série entière est la dérivée d'une fonction holomorphe.
Au secours

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:24

non, je n'ai pas eu l'occasion d'en faire mais à ce que j'ai cru comprendre, ça se passe d'une toute autre manière lorsque l'on passe en plusieurs variables.

Citation :
Mais je ne sais pas si tu continues l'analyse complexe en licence...


euh...pas compris !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:25

oups désolé en master je voulais dire

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:26

letonio > ici, l'ouvert que l'on considère est un disque qui est simplement connexe donc il n'y pas de problème.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:27

Citation :
Dans mon cours on me dit également que toute série entière est la dérivée d'une fonction holomorphe.


Tout ce que je peux te dire c'est que toute fonction holomorphe est analytique donc s'écrit comme la somme d'une série entière.

Mais je ne vois pas pourquoi on parle de dérivée

Bon A+ je vais me coucher !

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:29

fusionfroide > OK ! non, pas vraiment, mais il arrive qu'on utilise cette théorie pour montrer certains résultats.

kaiser

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:35

Connexe? Pourrais-tu m'en donner une définition?

Est-ce que tu me dis que mon problème vient de l'exclusion du 0 dans le C*?

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:37

J'ai regardé la définition de wikipedia, mais à cette heure-ci j'ai du mal
J'ai surtout du mal à voir le lien avec un intervalle.

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:42

connexe signifie que l'ouvert est en un seul morceau (plus rigoureusement cet ouvert n'est pas la réunion de 2 ouverts disjoints non vide).

un ouvert simplement connexe est ouvert qui est connexe et qui "ne comporte pas de trou".

Concernant ton problème, avec la fonction 1/z, effectivement ça vient de là (plus précisément, on peut faire le tour de 0 et cela interdit à cette fonction d'avoir des primitives car sinon, une primitive serait discontinue ce qui n'est pas possible)

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:44

Ok merci à toi

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 00:45

Mais je t'en prie !

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 11:57

J'ai encore un point de blocage...

Je cherche à savoir si sinz admet ou non un primitive holomorphe.

Normalement, je suppose que c'est oui, puisque sin est holomorphe sur C (simplement connexe).


Mais j'ai fait un calcul qui m'amène à montrer le contraire :/

pour tout [a,b] dans C
\int_{[a,b]} sinz dz= \int_0^1 sin[(1-s)a+sb](b-a) ds= (b-a)[-cos((1-s)a+sb)]_0^1 =(b-a)(cosa-cosb)

Donc pour tout [a,b,a] dans C
\int_{[a,b,a]} sinz dz= (b-a)(cosa-cosb) + (a-b)(cosb-cosa)

Et si je prends a=0 et b= pi/2
je trouve
\int_{[a,b,a]} sinz dz= pi/2 + pi/2= pi différent de 0

Or il me semble que f continue dans C et f admet une primitive holomorphe dans C => pour toute ligne polygonale fermée, \int_{[a,...,a]} f(z) dz=0

POurriez-vous m'indiquer ce qui cloche?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 12:53

je pense avoir trouvé l'erreur :

lorsque tu intègres le sinus, tu as oublié de diviser par b-a.

De plus, tu supposes implicitement que sin admet -cos pour primitive.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 13:11

oups oui c'est vrai

Par contre en écrivant sinz sous forme de la somme de deux fonctions analytiques,
sinz= cos(z_0) \sum (-1)^k(z-z_0)^{2k+1}+ sin(z_0)\sum (-1)^k(z-z_0)^{2k},
il me semble que je prouve bien que sin est analytique et donc holomorphe sur C non?

Citation :
De plus, tu supposes implicitement que sin admet -cos pour primitive.

effectivement, j'étais allé un peu vite en besogne

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 13:12

Du coup, comment fait-on pour calculer une primitive de sinz?
Est-ce que l'on intègre l'expression sous forme de série entière?

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 18-05-07 à 15:20

mais c'est plus bête que ça : tu peux directement calculer une primitive de sin en passant par la définition de sin par les exponentielles complexes.

Kaiser

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 14:34

Pourrais-tu détailler d'avantage? Je n'y arrive pas

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 14:36

J'ai supposé qu'il fallait utiliser
sinx= 1/(2i). (e^(ix)-e^(-ix))...  

Je ne vois pas comment on passe au sin Z où z est complexe.

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 14:38

quelque part, dan ton cours, tu devrais avoir la définition suivante du sinus complexe :

\Large{\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}

et ce pour tout complexe z

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 14:50

Bonjour à tous

>letonio Je crois avoir compris où se trouve ton point de blocage: Il est bien vrai que dans son disque de convergence la somme d'une série entière admet pour primitive la somme de la série des primitives de chaque terme.

En particulier, comme le rayon de convergence de la série du sinus est infini, une primitive de sin sur C est bien -cos.

Si on est sur un ouvert U, même connexe et si f est holomorphe sur U, elle est bien analytique. Ceci signifie que pour chaque point elle coïncide sur un disque avec la somme d'une série entière et il est bien vrai qu'elle admet une primitive sur ce disque. On dit qu'une fonction holomorphe admet des primitives locales. Le problème est qu'il arrive que l'on ne puiss pas recoller ces primitives.

Par exemple 1/z sur C*. Si tu prends un point a0, tu as

\Large \frac{1}{z}=\frac{1}{a+(z-a)}=\sum_{n=0}^\infty\ \frac{(-1)^n(z-a)^n}{a^{n+1}}

pour |z-a|<|a| et sur ce disque il y a bien une primitive. Mais il n'y en a pas une qui soit valable sur C* tout entier.

Posté par
letoniore : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 15:27

Merci à vous

Posté par
kaiser Moderateurre : fonction analytique et primitive holomorphe 19-05-07 à 15:47

Pour ma part, je t'en prie !


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