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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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fonction C-dérivable

Posté par
termina123
20-05-22 à 00:19

Bonsoir
On me demande de trouver les points pour lesquels l'application f(z)=\overline{z}^2 est C-dérivable

Les dérivées partielles des parties réelles et imaginaires ne vérifient pas les équations de Cauchy Riemann donc f n'est pas holomorphe sur C
Soit z\in \mathbb{C}, \lim_{h->0}{\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim_{h->0}{\dfrac{\overline{z+h}^2-\overline{z}^2}{h}}=\lim_{h->0}{\dfrac{(\overline{z}+\overline{h})^2-\overline{z}^2}{h}}=\lim_{h->0}{\dfrac{\overline{z}^2+2\overline{z}\overline{h}+\overline{h}^2-\overline{z}^2}{h}}

=\lim_{h->0}{\dfrac{2\overline{z} \overline{h}+\overline{h}^2}{h}}
et la je sais pas trop quoi faire

Posté par
termina123
re : fonction C-dérivable 20-05-22 à 01:07

f(x+iy)=(x-iy)²=x²-y²+i(-2xy) f est polynomiale donc R dérivable
Si f est C dérivable en z=x+iy,  les équations de Cauchy Riemann s'écrivent :
\dfrac{\partial Re(f)}{\partial x}(z)=\dfrac{\partial Im(f)}{\partial y}(z)
\dfrac{\partial Re(f)}{\partial y}(z)=-\dfrac{\partial Im(f)}{\partial x}(z)
Soit 2x=-2x et -2y=2y soit x=0 et y=0 et donc f est holomorphe sur aucun ouvert de C mais C dérivable en 0 ?

Posté par
AitOuglif
re : fonction C-dérivable 20-05-22 à 08:02

Bonjour termina123

Je ne vois pas où as-tu établi la C-dérivabilité en 0 pour l'instant.

Posté par
GBZM
re : fonction C-dérivable 20-05-22 à 09:13

Bonjour,

Une fonction de \C dans \C qui est \R-différentiable est \C-dérivable en a\in\C si et seulement si les dérivées partielles en a vérifient les conditions de Cauchy-Riemann. En effet, ces conditions expriment que l'application \R-linéaire tangente en a est \C-linéaire.

Posté par
AitOuglif
re : fonction C-dérivable 20-05-22 à 09:33

Ah oui je n'avais pas lu le début du message de termina123 (« R dérivable »)…! mea culpa

Posté par
termina123
re : fonction C-dérivable 20-05-22 à 16:27

Merci pour vos réponses



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