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fonction complexe

Posté par
maths-rix 18-11-07 à 19:15

bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Etude de l'inversion de centre O et de rapport k dans le plan. on M d'affixe Z0 et M' = f(M) d'affixe 4$Z' = \frac{k}{\bar{Z}}

montrer que f est bijective de C* dans  C* et déterminer 4$f^{-1}

voila ce que j'ai fais :

on montre que 4$f(Z) = \frac{k}{\bar{Z}}   est injective :

4$\frac{k}{\bar{Z}} = \frac{k}{\bar{Z'}} 4$\bar{Z} = \bar{Z'} Z = Z' (f est injective)

on montre que f est surjective :

4$\frac{k}{\bar{Z}} = Z 4$Z\bar{Z} = k puis je bloque !

merci pour l'aide

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 19:17

Bonjour,
tu fixes y complexe quelconque non nul, il suffit de trouver le nombre complexe Z tel que f(z)=y, donc si je note z* le conjugué de z, on cherche le nombre z tel que
f(z)=k/z*=y et donc tel que k=yz* et donc z = ?

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 19:42

désolé je ne vois pas

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 19:46

z* = k/y puis z* = k/(f(z)) puis z = k/(f(z))* ?  (je pense que je mélange tout là ?)

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 19:53

Niveau 4e ...

si k=yz* alors z*=k/y ...
Donc z= ? (n'oublie pas que z**=z)

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 19:57

z = k*/y* ==> z = k/y* non ! (k>0)

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 20:02

Oui c'est bon, pourquoi tu dis non ?

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 20:04

en fait c'est ce que j'ai fais plus haut dans la première réponse !

donc f est surjective

f injective puis surjective ==> f bijective.

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 20:06

Oui c'est ce que tu avais fait, il te restait à conclure.
Oui c'est bon.
a+

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 20:07

merci

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 20:07

Plaisir
a+

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 21:22

2) comparer les modules et les arguments de z, z'

==> 4$|Z'| = |\frac{k}{\bar{Z}}| = |\frac{k}{Z}|

==> 4$|Z| = ?   4$Z' = \frac{k}{\bar{Z}} donc 4$Z = \frac{k}{\bar{Z'}}

donc 4$|z| = |\frac{k}{\bar{Z'}}| = |\frac{k}{Z'}| = ?

comme f est injective alors 4$Z = Z' donc :

4$|\frac{k}{Z'}| = |\frac{k}{Z}|     donc      4$|z'| = |z|

qu'en pensez vous ?

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 21:24

Je ne vois pas bien ce que tu fais.
La question est pourtant très simple, je crois que tu mélanges tout.
On te demande de comparer |f(z)| avec |z|.

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 21:31

oui mais 4$f(z) = z' = \frac{k}{\bar{z}} donc 4$|f(z)| = |z'| = |\frac{k}{\bar{z}}|

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 21:35

Oui et donc |z'|=k/|z|

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 21:36

mon raisonnement est bon alors !

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 21:39

Non pas du tout, on ne sait pas trop ce que tu fais ni pourquoi tu arrives à |z|=|z'| .

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 21:47

2) comparer les modules et les arguments de z, z'

4$f(z) = z' = \frac{k}{\bar{Z}} donc 4$|f(z)| = |z'| = |\frac{k}{\bar{Z}}|

d'où

==> |z'| = |\frac{k}{\bar{Z}}| = |\frac{k}{Z}| = \frac{k}{|Z|}

==> |Z| = ?

on à Z' = \frac{k}{\bar{Z}} donc Z = \frac{k}{\bar{Z'}}

donc |z| = |\frac{k}{\bar{Z'}}| = |\frac{k}{Z'}| = \frac{k}{|Z'|}

comme f est injective alors Z = Z' donc :

\frac{k}{|Z'|} = \frac{k}{|Z|}     donc      |z'| = |z|

suis-je plus clair ?

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 21:49

Non parce que c'est toujours faux.
La réponse est |z'|=k/|z|, je ne vois pas bien ce que le reste vient faire là.

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 21:57

ah ok je comprends où est le problème !

sinon pour les argument :

4$arg(Z') = arg(\frac{k}{\bar{Z}}) = -arg(\bar{Z}) = -(-arg(Z)) = arg(Z)

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 22:30

3) exprimer les coordonnées de M en fonction de celles de M' et inversement.

mais les coordonnées de M' en fonction de M c'est z' = \frac{k}{\bar{Z}} non ?  

Posté par
ottore : fonction complexe 18-11-07 à 22:33

Je pense que l'on te demande les coordonnées cartésiennes, x= ? y =?

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 22:47

on pose M (x+iy) et M'(x'+iy')

donc Z' = \frac{k}{\bar{Z}} ===> x'+iy' = \frac{k}{x-iy} ???

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 23:02

==> x' = \frac{k}{x} et y' = -\frac{k}{y} mais j'ai gros doute !

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 18-11-07 à 23:26

non c'est faux lol

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 19-11-07 à 00:10

que faut il faire donc

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 19-11-07 à 19:37

je pense avoir trouver :

x'+iy' = \frac{k}{x-iy} = \frac{k(x+iy)}{(x-y)(x+it)} = \frac{kx+kiy}{x^2+y^2}

donc : x' = \frac{kx}{x^2+y^2} et y' = \frac{ky}{x^2+y^2}

comme on a Z' = \frac{k}{\bar{Z}} alors Z = \frac{k}{\bar{Z'}}

donc x+iy = \frac{k}{x'-iy'} d'où

x = \frac{kx'}{x'^2+y'^2} et y = \frac{ky'}{x'^2+y'^2}

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 19-11-07 à 19:47

je dois trouver l'image d'une droite d'équation Ux + Vy + H = 0 (suivant les valeurs de H !)

je suppose que je dois remplacer les x et y de cette droite par x' = \frac{kx}{x^2+y^2} et y' = \frac{ky}{x^2+y^2}

d'ou :
Ux'+Vy'+H = 0 ==> U \times \frac{kx}{x^2+y^2} + V \times \frac{ky}{x^2+y^2} + H = 0

mais je ne vois pas comment trouver l'image de cette droite de cette manière !

Posté par
maths-rixre : fonction complexe 19-11-07 à 20:03

si on multiplie par x^2+y^2 on aura

Ukx + Vky + h(x^2+y^2) = 0 et après ????


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