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Fonction complexe bornée

Posté par
kuroka
23-01-15 à 18:04

Bonjour,

Voici l'exercice qui me pose problème:

Trouver tous les a,b \in \C tels que la fonction asin^2z+bcos^2z+(2-a-b)z^2 soit bornée sur \C.

Je ne vois pas très bien à quoi correspond la notion être bornée quand il s'agit d'une fonction complexe.
Est-ce que cela veut dire, si on appelle la fonction f, que f(\C) est une partie borné de \C ?
Il y a-t-il une définition formelle ?


Quoi qu'il en soit en ce qui concerne l'exercice, je peux déjà dire que si on considère z\in \R, alors z\mapsto asin^2z+bsin^2z est bornée pour tout couple de complexes (a,b) et que z\mapsto (2-a-b)z^2 n'est pas bornée à moins que 2-a-b=0 cad que a+b=2. Est-ce correct ?

Posté par
etniopal
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 18:29

Utilise : 2cos²(z) =  1 + cos(2z) , sin²(z) = 1 - cos(2z) et prend z = ix ( x réel )

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 18:35

Bonsoir etniopal,

avant de rentrer dans l'exo, en plus j'ai déjà quelques idées, je voudrais comprendre ce que signifie être bornée pour une fonction d'une variable complexe.

Posté par
etniopal
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 18:40

Ce ne peut être que

f() est une partie bornée de

ou

M z |f(z)| M .

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 19:06

Et pourquoi pas plutôt  \cos^2 z+\sin^2 z=1 ?

Posté par
verdurin
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 19:39

Bonsoir Robot,
je suis surpris de te voir donner directement la solution.

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 20:09

1°) En quoi est-ce une solution ?
2°) Ca me paraît moins tordu que "2cos²(z) =  1 + cos(2z) , sin²(z) = 1 - cos(2z)", où il y a d'ailleurs une erreur.

Posté par
verdurin
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 20:59

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 21:33

Merci etniopal pour les definitions.
Bonsoir Robot et merci pour l'indication.

Du coup voici ce que j'ai fait:

Considérons z\in \R. Alors la fonction z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z) est bornée et la fonction z\mapsto (2-a-b)z^2 n'est pas bornée à moins que 2-a-b=0 c'est-à-dire que a+b=2.

On sait donc maintenant que pour que la fonction z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z)+(2-a-b)z^2 soit bornée il faut que a+b=2 et donc la fonction devient z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z).
Comme cos^2(z)+sin^2(z)=1, c'est-à-dire sin^2(z)=1-cos^2(z), alors asin^2(z)+bcos^2(z)=a(1-cos^2(z))+bcos^2(z)=(b-a)cos^2(z)+a.
On en déduit donc que z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z)+(2-a-b)z^2 est bornée sur \C si et seulement si z\mapsto (b-a)cos^2(z)+a est bornée sur \C ou encore si et seulement si z\mapsto (b-a)cos^2(z) est bornée.

Le théorème de Liouville nous dit que toute fonction holomorphe sur \C et bornée est constante. Or, comme z\mapsto cos(z) n'est pas constante et est holomorphe sur \C (puisque définie par une série entière sur \C), alors on en déduit qu'elle n'est pas bornée.
Ainsi z\mapsto cos^2(z) n'est pas bornée et on en conclut que z\mapsto (b-a)cos^2(z) est bornée si et seulement si b-a=0, c'est-à-dire si et seulement si a=b.

Finalement z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z)+(2-a-b)z^2 est bornée sur \C si et seulement si a+b=2 et a=b, c'est-à-dire si et seulement si a=b=1.

Est-ce que cela vous semble bon ?

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 22:06

Citation :
Alors la fonction z\mapsto asin^2(z)+bcos^2(z) est bornée


Pourquoi ?

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 23:05

D'accord, j'avais zappé le fait que tu commences par te restreindre à \R.

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 23:09

Tu peux éviter le marteau-pilon de Liouville en utilisant la deuxième parie de la suggestion de lapointe (pas Boby) à 18:29.

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 23-01-15 à 23:32

ahah, j'avais pas remarqué que son pseudonyme était un anagramme de lapointe !

Par marteau-pilon de Liouville tu veux dire que c'est assez lourd dans la rédaction de l'exo ou c'était juste pour faire un jeu de mot avec lapointe ?

cos(ix)=\dfrac{e^{i(ix)}+e^{-i(ix)}}{2}=\dfrac{e^{-x}+e^{x}}{2} d'où \lim\limits_{x\to +\infty} cos(ix)=+\infty

Et donc z\mapsto cos(z) n'est pas borné !

C'est bien comme ça ?

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 24-01-15 à 08:46

\cos(ix)=\mathrm{ch}(x)
C'est juste que Liouville est un gros théorème qui demande pas mal de travail, alors que l'argument direct est tout à fait élémentaire.

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 24-01-15 à 12:59

Ok !

Et sinon le reste te semble bon ?

Posté par
Robot
re : Fonction complexe bornée 24-01-15 à 14:58

Toujours besoin d'être rassuré, hein ?

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 24-01-15 à 15:04

Posté par
kuroka
re : Fonction complexe bornée 24-01-15 à 15:06

Bon et bien du coup merci à tous pour votre aide !

Topic résolu !



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