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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Fonction constante dans C
Posté par Lili6
Bonsoir
Prenons une fonction holomorphe dans un ouvert
de
.Supposons
connexe, comment montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
a) f est constante sur
b)
c) il existe des constantes réelles ,
et
non toutes nulles vérifiant :
d) il existe une fonction strictement monotone de classe
sur
vérifiant:
bonsoir
je ne comprends pas bien ton (b) ... le "ou" me parait inutile car la condition "f(z)=0" est contenue dans la condition "f'(z)=0" ...
Bonjour
mm, pourquoi ne pourrait-on pas avoir une dérivée nulle ailleurs qu'en un point où la fonction s'annule ? le quantificateur est pour l'ensemble de l'alternative
Ok donc en poursuivant cette logique :
Mais est-ce que c'est vraiment rigoureux ? L' hypothèse de connexité ça s'applique où? Les bornes comment je les trouve?
Faudrait m'expliquer comment ça marche cette intégrale, on est pas dans mais dans
Moi j'ai vu que comment calculer une intégrale curviligne dans
Pour les autres équivalences je fais comment?
@Lili6
Si b est vraie il existe c 
tel que f² = c .
Si c = 0 on a f = 0 (partout dans D )
Si c est non nul on prend une racine carrée a de c de sorte que f² = a² .
Soient alors F = [f = a] et G = [f = -a] . Ce sont 2 fermés( car f est continue) disjoints et leur réunion est D .
Comme D est supposé connexe F ou G est vide donc f = a ou f = -a .
( Une autre façon de conclure : Pour tout z de D on pose s(z) = 1 si f(z) = a et s(z) = -1 si f(z) =- a . s est donc une application continue ( s = f/a ) de D vers {-1 , 1} . La connexité de D entraine que s est constante .
Il te reste peut-être à voir pourquoi le fait que f² ait une dérivée (complexe) nulle entraine que f² est constante .
Pour montrer que c 
a :
Soient P = Re(f) et Q = Im(f) de sorte que f = P + iQ .
Soit (u,v,w) 
3 tel que u² + v² + w² 
0 et 
la droite d'équation ux + vy + w = 0 .
.Si la condition c est satisfaite ( càd uP + vQ + w = 0 ) alors f(D) est contenu dans une droite ( de ² identifié à ) donc d'intérieur vide .
Or si f n'est pas constante l'intérieur de f(D) ne l'est pas .
Vous m'avez donné des indications sur le 'a)' le 'b)' et le 'c)' Je vais me débrouiller avec ...
Pour le 'd)' c'est le néant, et je ne sais pas trop comment montrer ce genre d'existence
Bonjour Lili6.
En supposant le c), je serais bien surpris qu'on arrive à d).
Car si b est nul et pas a, il vient avec
fonction constante
qui n'a pas vraiment le mérite d'être strictement monotone.
Je serai d'avis de reformuler le c) en :
Citation :
c) il existe des constantes réelles
,
et
toutes non nulles vérifiant :
 + b Imf(z) + c = 0)
c) il existe des constantes réelles
Auquel cas, on aboutit à
Super !
Avec la piste des équations de Cauchy Riemann, pour montrer :
Je suppose vrai je dois en déduire
Si vrai, les équations de Cauchy Riemann donnent
Pour déduire J'essaie l'analyse synthèse
(Analyse) je suppose vraie, je dérive l'équation par rapport à
puis
avec les équations ci dessus je trouve
(Synthèse) si les
existent cqfd
C'est juste ?
Et avec la réponse de @Jsvdb j'ai l'équivalence ! Je crois que j'ai tout compris merci beaucoup pour vos réponses
Je ne sais pas trop comment montrer directement que avec les équations de Cauchy Riemann
pour ça j'ai essaye l'analyse-synthese
Donc j'ai déjà (a) équivaut à (b) avec les réponses de @Etniopal
Si ce que j'ai fait est juste alors (d)
équivaut à (c) je peux montrer que
Donc si ce que j'ai fait est juste alors la démonstration est terminée 
!
Poncargues @ 06-11-2018 à 16:52
Heu, faudrait voir précisement ce que tu fais
je montre que (d) équivaut à (c)Heu, faudrait voir précisement ce que tu fais
Comme j'ai dit plus haut, faudrait voir ce que tu fais précisement mais la méthode que tu indiques pour montrer que d) implique c) n'a pas l'air correcte.
Montrer que d) implique a) est immédiat, comme a) implique trivialement c) et que c) implique d) (meme sans la modification).
Ben la structure de ta démonstration est incorrecte. Tu supposes d) puis tu fais une analyse synthèse pour c), mais pour prouver quoi en fait?
Ce que tu prouves c'est que et si c) et d) sont vraies alors Im f est constante, mais ca n'est pas ce que dois faire. Ce que tu dois prouver c'est que si d) est vrai, alors \phi est nécéssairement de la forme donnée par c). Mais in fine autant prouver directement que f est constante.
Pour montrer qu'une proposition A implique une proposition B on suppose d'abord que A est vraiet on en déduit B avec les hypothèses issues de la supposition sur A
Je ne vois pas clairement où j'ai faux dans l'analyse- synthèse,ou j'ai peut-être mal compris son principe
Ben oui, bien sur, ici tu supposes d) et tu peux en déduire c) si tu veux, mais tant que tu ne postes pas ce que tu as fait on parle un peu dans la vide. Telle que proposée dans ton message plus haut, ton esquisse de démonstration ne semble pas prouver c).
Relis ce que tu ecris
Citation :
Si d) vrai, les équations de Cauchy Riemann donnent
\partial_{x} \phi(Imf(z) = \partial_{y}Imf(z)
\\ \partial_{y} \phi(Imf(z)=-\partial_{x}Imf(z)
Pour déduire c) J'essaie l'analyse synthèse
(Analyse) je suppose c) vraie, je dérive l'équation par rapport à xpuis y avec les équations ci dessus je trouve Imf(z)=constante
(Synthèse) si Imf(z)=constante les a,b et c existent cqfd
Si d) vrai, les équations de Cauchy Riemann donnent
\partial_{x} \phi(Imf(z) = \partial_{y}Imf(z)
\\ \partial_{y} \phi(Imf(z)=-\partial_{x}Imf(z)
Pour déduire c) J'essaie l'analyse synthèse
(Analyse) je suppose c) vraie, je dérive l'équation par rapport à xpuis y avec les équations ci dessus je trouve Imf(z)=constante
(Synthèse) si Imf(z)=constante les a,b et c existent cqfd
Ce que tu prouves c'est que si on a d), alors c) <=> Im f = cste.
Mais ca n'est pas du tout ce qu'on te demande de prouver, on te demande de prouver d)=>c).
Lili6 @ 06-11-2018 à 16:43
Pour déduire)
J'essaie l'analyse synthèse
(Analyse) je suppose vraie, je dérive l'équation par rapport à 
puis 
avec les équations ci dessus je trouve =constante)
(Synthèse) si les 
existent cqfd
Pour déduire
(Analyse) je suppose
(Synthèse) si
Si a, b, c vérifient l'équation alors nécessairement
Donc ces a, b, c qui vérifient l'équation existent. C'est comme ça que j'ai vu la chose... Bon je vais reviser toute façon cette méthode de démonstration, et l'exercice est déjà resolu
Citation :
Si a, b, c vérifient l'équation alors nécessairement lmf(z)= constante Si Imf(z) = constante l'équation marche
Si a, b, c vérifient l'équation alors nécessairement lmf(z)= constante Si Imf(z) = constante l'équation marche
Ben oui, mais ca n'est pas d) =>c), ca c'est c) <=> Imf est constante...
Citation :
Enfin, bon, tel que formulé, c) \Rightarrow d) me paraît bizarre ...
Enfin, bon, tel que formulé, c) \Rightarrow d) me paraît bizarre ...
Cela fonctionne car f est holomorphe. Même si in fine toutes ces conditions ne s'appliquent qu'aux... fonctions constantes donc bien sur on peut donner des caractérisations plus ou moins fantaisistes.