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Fonction de classe C^2

Posté par
matheux14
22-05-22 à 17:28

Bonjour,

Merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur \R^2 par f(x, y) = \dfrac{x^3 y}{x^2 + y^2} +1 si (x ; y) \neq (0 ; 0) et f(0 ; 0) = 1

1) Montrer que f est continue sur \R^2.

2) Montrer que f admet deux dérivées partielles d'ordre 1 continues sur \R^2

3) Etudier l'existence et, le cas échéant calculer, les dérivées partielles d'ordre 2 en (0 ; 0).

4) f est elle de classe C2 ?

1) f est continue sur \R^2 \setminus (0 ; 0) et f(0 ; 0) = 1

Calculons \lim_{(x; y) \to (0 ; 0)} f(x ; y)

J'ai essayé de majorer sur \R^2_+ :

\dfrac{x^3 y}{x^2 + y^2} \le x^3 y \\\\ \dfrac{x^3 y}{x^2 + y^2} + 1 \le x^3 y + 1

Mais il me semble qu'il y a d'autres ensembles de \R^2 qu'il faut gérer.

Posté par
GBZM
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 17:40

Bonjour,

C'est assez souvent (mais pas toujours) une bonne idée de voir ce que ça donne en coordonnées polaires. Ici, avec le x^2+y^2 on dénominateur, on y est fortement poussé.

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 18:09

r^2 = x^2 + y^2 \\\\ x = r\cos(\theta) \\\\ y = r\sin(\theta) \\\\ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x}

Posté par
GBZM
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 18:12

Tu pourrais peut-être penser à écrire f(x,y)-1 avec les coordonnées polaires ?

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 18:17

f(x , y) -1 = r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta) - 1

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 18:20

f(x , y) -1 = r^2 \cos^3(\theta) \sin(\theta)

Posté par
GBZM
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 22:51

Faut-il que je te pousse encore ou auras-tu tout seul l'idée que ça peut servir à traiter la question 1) ?

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 22-05-22 à 23:52

On peut majorer par r² et minorer par -r² qui a pour limite 0 donc f est bien continue sur \R^2

Posté par
GBZM
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 08:37

Ben voila !

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 19:50

2) * Pour tout réel y fixé,  \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{3x^2y(x^2 + y^2) - 2x^4 y}{(x^2 + y^2)^2} = 3x^2 y - \dfrac{2x^4 y}{(x^2 + y^2)^2} est dérivable sur \R

*  Pour tout réel x fixé,  \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{x^3(x^2 + y^2) - 2x^3 y^2}{(x^2 + y^2)^2} = x^3 -\dfrac{2x^3 y^2}{(x^2 + y^2)^2} est dérivable sur \R

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 19:51

3) Comment répondre ?

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 21:02

Bonjour,

Je te signale que tes dérivées, dans leurs versions "simplifiées" sont fausses. Dépêche toi de rectifier avant que GBZM ne reprenne la main.

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 21:16

Oups

Citation :
2) * Pour tout réel y fixé,  \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{3x^2y(x^2 + y^2) - 2x^4 y}{(x^2 + y^2)^2} = \dfrac{3x^2 y}{x^2 + y^2} - \dfrac{2x^4 y}{(x^2 + y^2)^2} est dérivable sur \R

*  Pour tout réel x fixé,  \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{x^3(x^2 + y^2) - 2x^3 y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \dfrac{x^3}{x^2 + y^2} -\dfrac{2x^3 y^2}{(x^2 + y^2)^2} est dérivable sur \R

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 21:22

Voilà. Des mises en facteur sont possibles, mais bon...

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 21:25

En attendant que GBZM  ne revienne, tu pourrais déjà regarder si elles sont continues en (0,0).

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 22:23

Non, elles ne sont pas continues en (0 ; 0)

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 22:26

Pourquoi?

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 22:33

Elles sont continues sur \R^2 \setminus \{(0 ; 0)\}

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 22:39

Tu as regardé ce que ça donnait en polaires au voisinage de (0,0) ?

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 22:55

Pour y fixe, \dfrac{\partial f}{ \partial x} =r(3 \cos^2(\theta) \sin(\theta) - 2\cos^4(\theta) \sin(\theta))

On majore par r et minore par -r.

\lim_{(x ; y) \to (0 ; 0)} \dfrac{\partial f}{ \partial x}  = 0

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 23:03

Voilà, et pareil pour l'autre.

Nota: on te demandait de montrer que ces dérivées d'ordre 1 étaient continues. Tu devais bien te douter que ta première réponse était fausse.

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 23:26

Ok et pour la dernière question on montre que \dfrac{\partial f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial f}{\partial y \partial x}

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 23-05-22 à 23:35

La question porte sur l'existence des dérivées secondes en (0,0). C'est à cela qu'il faut répondre.

Il est tard, je ne reste pas.

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 24-05-22 à 08:27

Une petite rectification

Citation :
On majore par r et minore par -r.


C'est l'idée, mais si  |3 \cos^2(\theta) \sin(\theta) - 2\cos^4(\theta)| est bien bornée, ce n'est pas par 1, mais par 5 par exemple, l'encadrement est donc à revoir.

Posté par
matheux14
re : Fonction de classe C^2 24-05-22 à 19:43

Merci beaucoup j'avais un DS ce matin et ça s'est bien passé.

Posté par
larrech
re : Fonction de classe C^2 24-05-22 à 19:52

Content pour toi, sincèrement.



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