Bonjour,
J'aurais aimé savoir comment vous démontreriez joliment (sans sortir de bulldozer !) la chose suivante. Je n'ai rien qui me vient à part peut-être l'absurde sans grand argument pour l'instant. Merci par avance de vos lumières !
Soit
injective. Montrer :
Bonjour Jezebeth.
Une idée :
On peut caractériser l'injection "à la mode Cauchy".
Si p <q sont deux entiers naturels, que dire de l'ensemble ?
Pour p tendant vers l'infini, cet ensemble sera toujours minoré par un certain qui tendra vers l'infini.
Il reste alors à minorer les sommes partielles de p à q.
Une autre idée plus simple : remplacer par , l'injection ayant même image que f et qui soit strictement croissante.
Du coup, on va avoir
Merci à toi jsvdb.
La seconde idée me plaît bien ! Pourrais-tu montrer comment tu le rédigerais s'il te plaît ? On peut passer l'existence, on s'en convainc, mais pour justifier formellement la majoration et la divergence ?
On pose donc .
0- est bien définie car on prend l'inf d'un ensemble bien ordonné.
1- est croissante car
2- injective implique que
3- 1- et 2- impliquent que est strictement croissante et on a évidemment
4- donc .
5- strictement croissante implique
6- donc et les sommes partielles suivent.
7- Conclusion triviale sur la série.
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