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Fonction de répartition

Posté par
antruion22 29-11-14 à 17:08

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les fonctions de répartition et j'aurai besoin d'une confirmation?

Voici la question :

Soit une fonction numérique F(x)=\frac{1}{4}(x^{2}-1)+b(x+1) sur l'intervalle [-1,1], où b est un paramètre réel.

A quelle condition sur le paramètre b la fonction de répartition d'une variable aléatoire que l'on notera X ?

Il faut que b>0, non ?

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction de répartition 29-11-14 à 17:15

Bonjour, tiens pourquoi b>0 ?
Moi j'aurais plutôt exploité les propriétés d'une fonction de répartition, à savoir que F(-1)=0 et F(1)=1

Posté par
antruion22re : Fonction de répartition 30-11-14 à 10:33

Ah d'accord merci

Posté par
antruion22re : Fonction de répartition 30-11-14 à 21:00

Du coup, b doit être égal à 1/2 ?
La deuxième question non plus je ne la comprends pas : Déterminer la fonction de densité f de la variable aléatoire X. Cette fonction verifie t-elle les conditions habituelles respectées par les fonctions de densité ?

Habituellement on utilise les fonctions de densité pour trouver une inconnue en disant qu'une fonction de densité est égale à 1. Là je ne comprends pas pourquoi on fait cela et je trouve 2/3 ...
Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

Posté par
veledare : Fonction de répartition 30-11-14 à 22:21

bonsoir,
tu as la fonction de répartition
F(x)=0 pour x<-1
F(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4} pour -1\le x\le 1
F(x)=1 pour x>1
tu obtiens la densité f en dérivant F   f(x)=F'(x)

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction de répartition 30-11-14 à 22:29

la densité est la dérivée de la fonction de répartition. Donc ici ça va donner x²/2+b donc (x²+1)/2 si tu as trouvé b=1/2

\int_{-1}^1 (x²+1)dx/2 =[x^3/6+x/2]_{-1}^1= 1/6+1/2- ((-1/6)-1/2) = 4/3 or on devrait trouver 1 donc elle ne vérifie pas les conditions habituelles respectées par les fonctions de densité

Posté par
freniclere : Fonction de répartition 30-11-14 à 22:43

Bonsoir,

La dérivée de F sur [-1,1] est \dfrac{1}{2}(x+1), et 0 ailleurs en fait, ce qui en fait une densité tout à fait respectable, amha

Posté par
veledare : Fonction de répartition 30-11-14 à 22:45

>>Glapion tu n'as la bonne fonction de densité

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction de répartition 30-11-14 à 22:51

oui je me suis trompé , d'accord ça donne (x+1)/2 et pas (x²+1)/2

Posté par
antruion22re : Fonction de répartition 01-12-14 à 19:26

Ah oui d'accord merci, je trouve 3/2. On me demande ensuite l'espérance de la variable X, je ne comprends pas ... L'espérance du fonction de répartition ?

Posté par
veledare : Fonction de répartition 01-12-14 à 21:03

* tu trouves 3/2 pour quoi?
*X est la variable aléatoire ce n'est pas la fonction de répartition
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)dt=\int_{-1}^1t\frac{t+1}{2}dt

Posté par
antruion22re : Fonction de répartition 01-12-14 à 22:19

Pour la fonction de densité.

D'accord merci.

Posté par
veledare : Fonction de répartition 02-12-14 à 01:07

si tu as calculé\int_{-1}^1f(t)dt tu dois trouver 1 sinon f n'est pas une densité


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