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fonction développable en série entiè-r

Posté par
wuksey 07-04-20 à 13:40

Bonjour,

Montrer que x,

f(x) = \sum_{n=0}^{+oo}{(\frac{i^n}{n!}\int_{0}^{1}{(1+t²)^{n-1}dt)}x^{2n}}

est developpable en série entière.

Il est indiqué d'utiliser la série de l'exponentielle.

Alors je pars de  e^{i} = \sum_{0}^{+oo}{\frac{i^{n}}{n!}}

Et ensuite j'essai pleins de trucs différents mais j'arrive à rien...

Posté par
mokassinre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 13:48

Bonjour,
Majore butalement l'intégrale.

Posté par
lafol Moderateurre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 14:24

bonjour
C'est moi ou il manque des mots dans l'énoncé ? genre "la fonction f définie par" entre "montrer que" et "quelque soit" ?
et si je ne m'abuse, f est déjà développée, non ? la question porte plutôt sur le fait que f soit bien définie par cette expression donc vérifier que le rayon de cv de la série est bien +oo

Posté par
boninmire : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 15:23

Et i, c'est quoi ? Ça ressemble à une fonction de deux variables ...

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 15:31

Oui désolé.

f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{ix²(1+t²)}}{1+t²}}dt

Comme t [0,1],

on peut écrire \frac{1}{1+t²} = \sum_{0}^{+oo}{x^{2n}}

et e^{ix²(1+t²)} = {\sum_{0}^{+oo}{\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!}}}


ainsi f(x) = \int_{0}^{1}{(\sum_{0}^{+oo}{x^{2n}}\sum_{0}^{+oo}{\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!}}dt)}

Il faut ensuite rassembler les deux sommes, c'est là où j'ai un peu plus de mal.

Je peux utiliser le produit de cauchy qui dit que anbn = akb(n-k) ?

Posté par
XZ19re : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 16:01

Bonjour
C'est pas très clair ce que tu écris.  
En effet, regardes ton développement de 1/(1+t^2)   il dépend de x  et même si tu remplaces x par t, il est faux.  

Ce qu'il faut faire c'est développer tout simplement ton exponentielle en série entière  
et formellement tu vas obtenir pour f(x)  une série entière qui va faire intervenir  
des intégrales de la forme \int_0^1(1+t^2)^n dt

Posté par
lafol Moderateurre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 16:54

quelle salade entre les x et les t !
sinon fournir un énoncé complet et exact, et pas ce que tu crois en avoir compris, c'est envisageable ?

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 16:59

En effet, j'ai dis n'importe quoi... c'est à cause du confinement

En développant e^{ix(1+t²)} il vient donc

f(x) = \int_{0}^{1}{\sum_{n=0}^{+oo}{\frac{i^{n}}{n!}(1+t²)^{n-1}x^{2n}}dt}

Seulement, il me manque l'argument qui me permet d'intervertir la somme et l'intégrale pour arriver au résultat demandé.

Il faut donc montrer que {\sum_{n=0}^{+oo}{\frac{i^{n}}{n!}(1+t²)^{n-1}x^{2n}}} convergence uniformément ? (là je suis pas sûr)

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 17:05

Citation :
sinon fournir un énoncé complet et exact, et pas ce que tu crois en avoir compris, c'est envisageable ?


Posté par
XZ19re : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 17:18

Bonjour
Je me méfie de celui qui dit il faut montrer que:  "machin truc bidule" converge uniformément "  
En effet il vaut mieux être précis   car en fait c'est bien ça le plus important. Une fois que c'est bien dit la preuve est triviale.

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 17:28

Citation :
Je me méfie de celui qui dit il faut montrer que:  "machin truc bidule" converge uniformément "  
En effet il vaut mieux être précis   car en fait c'est bien ça le plus important. Une fois que c'est bien dit la preuve est triviale.


C'est seulement que j'ai lu que c'était la condition donnée par le théorème d'interversion série/intégrale pour pouvoir effectuer cette interversion.
J'ai peu de connaissances sur les séries donc j'applique en effet bêtement ce qui est dit.
Mais je suis ouvert à d'autres explications!

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 17:33

Comme f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{ix²(1+t²)}}{1+t²}} qui est finie (car on intègre sur [0,1],

alors la série ci-dessus est finie, donc intégrable sur [0,1] ?

C'est une supposition, ne me lynchez pas

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 19:28

Personne pour éclairer ma lanterne ? Je suis toujours bloqué là-dessus et je vois pas trop comment donner un argument pour intervertir somme et intégrale ici :'(

Posté par
XZ19re : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 21:09

Il faut que tu énonces correctement un théorème  qui permet  d'échanger intégrale et somme d'une série.  A savoir que d'un point de vue pratique on regarde la convergence normale + facile à établir  que la CVU.

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 21:32

Merci pour ta rép !

Soit I un intervalle. Soit (fk)k∈N : I → R une suite de fonction sur I. Soit
f : I → R la limite simple de la série \sum_{k}^{}{f_{k}}

Hypothèses :
(a) \sum_{k}^{}{f_{k} \\ } converge simplement vers f.
(b) pour tout k, fk est intégrable.
(c) la série numérique \sum_{k=0}^{+oo}{\int_{I}^{}{|f(t)|dt}} converge

Alors on a

\int_{I}^{}{f(t)dt} = \lim_{+oo} \int_{I}^{}{f_{n}(t)dt}

Voilà ce que j'ai trouvé, il faut que je trie les infos, j'ai du mal à bien voir que ce résultat implique que

f=f..

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 22:34

En fait, je n'utilise pas le résultat utile. Il est aussi dit que si ces hypothèses sont vérifiées, alors f est intégrable... f étant la limite de la somme des f_k...

Posté par
luzakre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 23:10

Citation :
Merci pour ta rép !

Je croyais le style SMS interdit ?

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 23:17

Je suis désolé, ça m'a échappé.

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 07-04-20 à 23:29

Ceci étant luzak, si tu comprends quelque chose à mon problème, ton aide est la bienvenue .

Posté par
mokassinre : fonction développable en série entiè-r 08-04-20 à 08:20

Oui, tu peux utiliser ce théorème et mon indication du départ qui donne la réponse

mokassin @ 07-04-2020 à 13:48

Bonjour,
Majore butalement l'intégrale.

Posté par
luzakre : fonction développable en série entiè-r 08-04-20 à 08:30

Pas la peine de demander du secours si tu n'exploites pas les indications données : celles de XZ19 me semblent particulièrement simples.
1. Développer en série entière la fonction : \dfrac{e^{ix^2(1+t^2)}}{1+t^2}=\sum_{n\geq0}a_n(x,t).
2. Vérifier que tu peux majorer |a_n(x,t)| par un réel \mu_n tel que \sum \mu_n soit convergente.
(tu auras peut être besoin d'imposer une condition du genre |x|\leq a)
3. Ayant une série normalement convergente tu peux intégrer terme à terme donc \int_0^1\dfrac{e^{ix^2(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t=\sum_{n\geq0}\int_0^1a_n(x,t)\mathrm{d}t.

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 08-04-20 à 14:45

Merci pour ta réponse luzak j'y vois beaucoup plus clair.

1. On a \frac{e^{ix²(1+t²)}}{1+t²} = \sum_{n=0}^{+oo}{\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!(1+t²)}}

On peut donc poser a_{n}(x,t) = {\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!(1+t²)}} et on cherche à majorer |a_{n}(x,t)|

(au passage, puisque \frac{1}{1+t²} ne dépend pas de n, je ne peux pas plus simplement poser  |a_{n}(x,t)| = |{\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!}}| dont une majoration sera peut-être plus simple à obtenir ? Si tel est le cas,  \sum_{n=0}^{+oo}{a_{n}(x,t)}  = e^{ix²(1+t²)} donc la série converge normalement ? Je dis peut-être n'importe quoi, je suis pas sûr de moi là dessus.)

Si non, on cherche à majorer  |a_{n}(x,t)| = |{\frac{(ix²(1+t²))^{n}}{n!(1+t²)}}| par \mu_{n} tel que \sum{\mu_{n converge... Je suis bloqué et je ne trouve pas de majoration qui convienne.



Le résultat que l'on cherche à démontrer doit être valable pour tout x réel, donc je ne pense pas avoir le droit d'imposer une condition sur x pour trouver ma majoration.

Posté par
luzakre : fonction développable en série entiè-r 09-04-20 à 08:01

Majorer t par 1 simplifie beaucoup les choses.

Obtenir une propriété pour |x|<a , a étant un réel arbitraire ne crée pas de difficulté mais, de plus tu peux laisser |x| dans le majorant et tu auras encore une série de fonctions t\mapsto a_n(x,t) normalement convergente (à x fixé) ce qui n'empêche pas d'intégrer la fonction t\mapsto ...

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 09-04-20 à 17:11

Merci.

En majorant t par 1, on a :

|a_{n}(x,t)| \leq \frac{x^{2n}2^{n}}{n!} =\mu _{n}

Et \lim_{+oo}\frac{\mu _{n+1}}{\mu_{n}} =\lim_{+oo} \frac{2x²}{n+1} = 0

Donc d'après la règle de d'Alembert,

\sum_{n\geq 0}^{}{\mu_{n}} converge

Posté par
luzakre : fonction développable en série entiè-r 09-04-20 à 17:25

Si tu veux utiliser la règle de d'Alembert il faut ajouter quelque chose !

Il est plus simple de dire que la série entière \sum \dfrac{(2x^2)^n}{n!} est convergente.

Posté par
wukseyre : fonction développable en série entiè-r 09-04-20 à 18:02

Ah en effet, la série de terme général  (2x²)^n/n!  converge vers e^2x²

Concernant la règle de d'Alembert : il faut ajouter que n 0 pour tout n ?
Ça marche du coup ?

Posté par
luzakre : fonction développable en série entiè-r 10-04-20 à 08:32

Pas tout à fait : il faut aussi n0 à partir d'un certain rang.


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