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fonction entière est polynomiale

Posté par
termina123 27-05-22 à 15:51

Bonjour
J'ai l'exercice suivant :
Soit f une fonction entière telle que  \lim_{|z|->\infty} |f(z)|=\infty
1) Montrer qu'il existe r>0 tel que l'expression g(z)=\dfrac{1}{f(1/z)} définisse une fonction holomorphe sur Dr(0)*
2) Classifier la singularité isolée z=0 de g sur Dr(0)*
3) En déduire que f est un polynôme non constant


1) \lim_{z->0}g(z)=\lim_{z->0}\dfrac{1}{f(1/z)}=\lim_{|z|->\infty}\dfrac{1}{f(z)} = 0
De plus les points autres que 0 pour lesquels g n'est pas définie correspondent aux z tels que f(1/z)=0 et comme f n'est pas identiquement nulle et C* est connexe, ces points sont isolés et donc la singularité isolée z=0 est effaçable et il existe r>0 tel que g soit holomorphe sur Dr(0)*

2) z=0 est une singularité isolée effaçable de g sur Dr(0)*

3) Si f n'est pas polynomiale comme f est entière on peut la développer en série entière au voisinage de 0 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n z^n} qui admet une infinité de coefficients a_n non nuls et on obtient la développement en série de Laurent suivant f(1/z)=\sum_{n=-\infty}^{0}{a_{-n }z^n} et donc f admet une singularité essentielle en 0 par définition
C'est contradictoire puisque g n'aurait pas de limite en 0 et donc f est un polynôme et non constant car \lim_{|z|->\infty} |f(z)|=\infty

Est correct d'écrire tout cela ou ai je écrit n'importe quoi ?

Posté par
GBZMre : fonction entière est polynomiale 27-05-22 à 18:47

Bonjour,

Tu dis que g a une singularité effaçable en 0 alors que \lim_{z\to 0} |g(z)|=+\infty. Ça ne colle pas tellement !

Posté par
termina123re : fonction entière est polynomiale 27-05-22 à 19:14

Bonjour GBZM
\lim_{z->0}|g(z)|=\lim_{z->0}\dfrac{1}{|f(1/z)|}=\lim_{|z|->\infty}\dfrac{1}{|f(z)|} (j'avais oublié le module)

Oui dans ce cas la z=0 serait un pole pour g mais pour moi cette limite vaut 0 et on peut prolonger g en 0 après peut être que je me trompe

Posté par
GBZMre : fonction entière est polynomiale 27-05-22 à 19:35

Désolé, j'avais lu g(z)=f(1/z)

Posté par
termina123re : fonction entière est polynomiale 27-05-22 à 22:16

Pas de problème
En revanche je pense que ma réponse à la 3) n'est pas rigoureusement correcte mais je ne saurai pas dire pourquoi pourtant ça m'a l'air correct si f n'est pas polynomiale alors f(1/z) admet une singularité essentielle en 0 et dans ce cas la g n'a pas de limite en 0 mais c'est en désaccord avec les réponses précédentes ...

Posté par
GBZMre : fonction entière est polynomiale 28-05-22 à 15:39

J'en reviens à mon z\mapsto f(1/z). Le développement en série entière de la fonction entière f donne le développement en série de Laurent de cette fonction en 0. Et comme cette fonction a un pôle et pas une singularité essentielle en 0, ....

Posté par
termina123re : fonction entière est polynomiale 28-05-22 à 17:08

Bonjour,
Oui cette fonction a un pole en 0 car son module tend vers l'infini en 0
On peut écrire son développement en série de Laurent en 0 : f(1/z)=\sum_{n=0}^{N}{a_n z^{-n}} avec N l'ordre du pole en 0 donc f est un polynôme

Posté par
termina123re : fonction entière est polynomiale 28-05-22 à 21:17

Bonsoir
J'ai reréfléchi un peu et je ne suis pas sur de ma réponse à la question 1 :

J'ai montré que les zéros de z\mapsto f(1/z) sont isolés mais 0 pourrait être un point d'accumulation de \{ z\in \mathbb{C}, f(1/z)=0\}

Par contre si on montre que f a un nombre fini de zéros alors ce sera bon (je pense) :
On sait que \lim_{|z|->\infty} |f(z)|=\infty
Soit \forall M>0, \exists R>0, \forall z \in \mathbb{C}, |z|>R \Rightarrow |f(z)|>M
Donc f s'annule sur \bar{D(0,R)} qui est compact et \{ z\in \bar{D(0,R)}, f(z)=0\} est sans point d'accumulation (f non identiquement nulle et \bar{D(0,R)} connexe) et donc si (a_n) est une suite de zéros alors on peut extraire (a_{\phi (n)}) qui converge vers a \in \bar{D(0,R)} et a serait un zéro non isolé, contradiction donc f admet un nombre fini de zéros

Posté par
GBZMre : fonction entière est polynomiale 29-05-22 à 10:37

N'oublie pas que |f(z)| tend vers l'infini quand |z| tend vers l'infini.

Posté par
termina123re : fonction entière est polynomiale 29-05-22 à 23:51

Bonsoir,
\lim_{|z|->\infty} |f(z)|=\infty
Autrement dit, \forall M>0,\exists R>0,\forall z \in \mathbb{C},|z|>R \Rightarrow |f(z)|>M
En prenant M=1, il existe R>0 tel que \forall z \in \mathbb{C},|z|>R \Rightarrow |f(z)|>1
Si z est non nul, on peut poser u=\dfrac 1 z et r = \dfrac 1 R et on a \forall u \in \mathbb{C}*,|u|<r\Rightarrow |f(\frac 1 u)|>1
Donc pour z\in D(0,r)*,|f(\frac 1 z)|>1 et donc  |g(z)|<1 et donc g est holomorphe sur D(0,r)*


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