Bonjour

Je crois qu'il existe des contrexemples! Mais pour appliquer le TVI, on n'a pas besoin de monotonie. L'image d'un intervalle est un intervalle, et c'est tout!

Non cela n'est pas vrai. Les trajectoires du mouvement brownien sont des fonctions continues qui ne sont monotones sur aucun intervalle.
Mais je ne connais de contre-exemple non stochastiques

Merci bon je change ma question alors

J'ai J et I deux segments de R f continue sur I et J inclus dans f(I) comment montrer qu'il existe I' inclus dans I tel que f(I')=J
Je vois pas comment le démontrer sans la propriété de mon premier post...
Merci d'avance

C'est fait ici : application continue

Ah merci j'avais pensé au antécédents mais je comprends pas très bien : si je prend a le plus petit et b le plus grand antécédent des bornes de J rien m'empeche d'avoir une valeur e de I entre a et b avec f(e) qui est pas dans J...

Non pas possible.

D'abord relis bien mes définitions de a et de b :

Notons I=[s,t]l'intervalle où f est définie. Supposons f(s) < f(t).

Notons J=[c,d] contenu dans f(I)

Je dis que I'=[a,b] convient, avec :

*  b = le plus petit antécédent de  d  
*  a  le plus grand antécédent de  c  plus petit que  b  

Fais un dessin tu verras bien que s'il y a une valeur e dans ]a,b[ telle que f(e) n'est pas dans J, on a : si f(e)>d, alors b n'est pas le plus petit antécédent de  d ,  et si f(e)<c, alors a n'est pas le plus grand antécédent...

Merci j'avais pas vu le plus petit que b, ça ma l'air de marcher merci beaucoup