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Fonction génératrice

Posté par
alb1du29 03-06-18 à 16:44

Bonjour,
j'ai une question à propos des fonctions génératrices : soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson de paramètre \lambda.
On demande de calculer les fonctions génératrice de X, 3Y et X+3Y

Pour X, j'ai trouvé G_X(t)=e^{\lambda (t-1)}
Pour 3Y, cela me pose problème : je ne peux pas utiliser G_{3Y}(t)=(G_Y(t))^3 puisque Y n'est pas indépendante d'elle même je crois! (car pas presque sûrement constante). J'ai donc fait G_{3Y}(t)=\sum P(3Y=n)t^n=\sum P(Y=n/3)t^n=\sum e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^{\frac{n}{3}}}{(n/3)!}t^n=\lambda^{1/3} e^{-\lambda} e^{3\lambda t}=\lambda^{1/3} e^{\lambda(3t-1)}
Mais le résultat me paraît surprenant! Qu'en pensez-vous ?

Ensuite pour X+3Y, par le lemme de coalitions, X et 3Y sont indépendantes donc je pourrai m'en sortir en faisant le produit des deux fonctions génératrices trouvées précédemment.

Merci à vous et bonne journée!

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice 03-06-18 à 17:57

salut

il semble évident que si Y prend des valeurs entières alors 3Y prend les valeurs triples donc les multiples de 3 ...

puisque évidemment P(3Y = 2) = 0 ...

Posté par
Jezebethre : Fonction génératrice 03-06-18 à 19:54

Bonjour

Et c'est marqué où que Y prend des valeurs entières ?...

alb1du29, c'est correct, il faudrait peut-être plus détailler le calcul de la somme. Et pour X+3Y vous faites le produit en justifiant l'indépendance, tout à fait.

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice 03-06-18 à 20:03

Jezebeth @ 03-06-2018 à 19:54

Et c'est marqué où que Y prend des valeurs entières ?...

Citation :
soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson de paramètre \lambda.

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice 03-06-18 à 20:04

parce que pour moi (n/3)! n'a évidemment pas de sens ...

Posté par
Jezebethre : Fonction génératrice 03-06-18 à 20:07

En effet……

Posté par
Jezebethre : Fonction génératrice 03-06-18 à 20:11

(Bon au demeurant ça change pas grand-chose ça revient juste à sommer sur les multiples de 3, d'ailleurs c'était peut-être tacite quand alb1du29 l'écrivait, mais je suis bien sûr tout à fait d'accord pour dire qu'il faut absolument que ce soit signalé...)

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice 03-06-18 à 20:32

oui et surtout je vois tellement de démonstrations calculatoires truffées de fautes avec au final un résultat exact ... qui ne veut en fait plus rien dire ...

Citation :
Le premier ennemi de la connaissance n'est pas l'ignorance, c'est l'illusion de la connaissance. Stephen HAWKING


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