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Niveau Licence Maths 1e ann
Fonction holomorphe
Posté par mmemaths
Bonjour,
Soit une fonction holomorphe sur l'ouvert
dont la dérivée ne s'annule pas, et soit
une fonction holomorphe sur l'ouvert
. On pose
;
est une fonction holomorphe sur
. Soient
,
et
. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. est un zéro d'ordre
de
;
2. est un zéro d'ordre
de
.
Voici mon raisonnement :
Remarque préliminaire : On définit par :
est donc holomorphe, y compris en
et
.
Je suppose 1.
Cette assertion est équivalente à :
"Il existe voisinage de
et
holomorphe tels que quel que soit
dans
,
avec
non nul."
Or étant ouvert (par continuité de h), l'assertion équivaut à :
"Il existe voisinage de
et
définie sur
holomorphe ne s'annulant pas en
tq pour tout
dans
"
La dernière égalité s'écrivant : , on obtient la relation 2.
Le raisonnement est-il correct ?
Cela me paraît correct .
Pour la réciproque tu peux utiliser la partie directe en y remplaçant (a , b , U , h , f , g ) par (b , a , V , h-1 , g , f) , V étant un voisinage convenable de b .
Ah oui et pour pouvoir parler de il faut utiliser le théorème d'inversion locale des fonctions holomorphes ?
salut
il me semble que f soit holomorphe ou réelle ça ne change rien et qu'on peut le montrer par récurrence en supposant les fonctions dérivables à l'ordre convenable ...
en posant b = h(a)
a est un zéro d'ordre m de g
donc g(a) = 0 <=> f(b) = 0
or h'(z) <> 0 donc g'(a) = 0 <=> f'(b) = 0
puis on recommence par récurrence
j'ai démontré que 2 => 1
mais puisque h'(z) <> 0 on peut appliquer le même raisonnement avec ...
ce me semble-t-il ...
Salut,
oui il me semble que pour n'importe quelle fonction analytique le raisonnement reste vrai.
Par contre du coup ce n'est pas vrai pour toutes les fonctions dérivables au sens réel (ou en tout cas pas en utilisant ce procédé avec les zéros isolés).
Sinon je trouve que la fonction epsilon définit au premier commentaire est superflu non? (mais bon comme on dit trop en dire ce n'est pas grave du moment qu'on ne se perd pas)
non je ne pense pas qu'elle soit superflue par définition du nombre dérivée qui est une limite
et l'important c'est que mmemaths ait trouvé une solution tout seul(e)
je suis intervenu pour proposer une alternative plus généraliste il me semble ...
mais je ne vois pas ce que tu veux dire avec ta deuxième affirmation