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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Fonction holomorphe
Posté par tomsoyer
Bonsoir,
Me posant deux question sur un exercice, je me permets de les poser ici.
Voici l'énoncé de l'exercice :
L'image d'une fonction holomorphe non constante sur un domaine D peut-elle être
contenue dans une droite ?
Voici sa correction :
L'image d'une fonction holomorphe non constante f ne peut être contenue dans une droite car constante implique
constante implique
constante.
Je ne comprends pas réellement ce que représente . Par là, je n'ai pas l'intuition géométrique de cet objet.
De plus, comprenez vous la première implication ?
En vous souhaitant une très bonne soirée
Domaine = ouvert connexe ?
Sans aucun calcul, le théorème de l'application ouverte trivialise la question. Sinon, tu peux faire ceci :
Une droite du plan (réel), c'est une droite horizontale, à laquelle tu fais subir une rotation puis une translation. Par exemple la droite d'équation cartésienne y = 2x+1 est l'image de la droite y = 0 par la rotation d'un angle theta de ton choix, avec theta vérifiant tan(theta) = 3 ; suivie de la translation de 1 vers le haut.
En termes de similitudes directes du plan complexe, ça veut dire qu'on prend la droite Im(z)=0, qu'on la multiplie par exp(i.theta) puis qu'on rajoute i.
Toutes les transformations sont inversibles et tu peux aussi faire d'abord une translation, puis une rotation, c'est toi qui vois.
Evidemment, ça marche avec n'importe quelle droite, horizontale, verticale, ou quelconque.
Dire que f est d'image une droite, ça veut dire qu'il existe a,b tel que f(D) = d : y=ax+b.
D'après ce que je viens de te dire, ça veut dire qu'il existe theta0 et w0 tels que exp(i.theta)f(D) + {w0} = U, où U est la droite z:Re(z)=c (une droite verticale, tu peux prendre c=0 si ça te chante).
Ce qui revient à dire que la fonction est constante (égale au réel c).
Pour la dernière implication, je ne te ferai pas l'affront de te l'expliquer 
La première est plus subtile.
On est train de dire que la fonction , qui est bien-sûr holomorphe sur D, est à image imaginaire pure. C'est à dire encore que
est à la fois holomorphe et réelle. Ou bien tu as déjà vu les équations de Cauchy-Riemann et c'est plié. Ou bien tu ne les as pas encore vues, et tu n'est plus qu'à une toute petite étape de la conclusion. Etape que je n'ai pas le temps d'écrire, parce que je dois me déconnecter
Mais toi, tu peux 
Bonsoir Ulmiere,
Je suis bien malheureux de ne pouvoir que vous remercier pour votre explication d'une si grande clarté.
Il me semble, grâce à vous, comprendre bien mieux cet exercice.
En effet, je crois que dans ce mon cas, domaine signifie ouvert connexe.
D'ailleurs, il me faut réfléchir encore un peu quant à l'utilité de la connexité.
Je connais les équations de Cauchy-Riemann, bien que celle-ci soit toutes fraîches pour moi. Ainsi, je vous comprends bien. Cependant, si cela n'aurai pas été le cas, je crois qu'il suffit de prendre la partie réelle de et cela est nulle. N'est-ce pas ?
En vous remerciant encore.