Bonsoir,
comme mon partiel d'analyse complexe tombe mercredi, je m'entraîne avec des exercices que je trouve sur Internet. L'un d'eux m'a intrigué, mais je bloque sur l'une des questions (après celle là, j'arrive à conclure) :
"L'objectif de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de fonction holomorphe f vérifiant f(f(z)) = exp(z). Supposons qu'il existe une telle fonction.
1) Montrer que
2) Montrer qu'il existe une détermination holomorphe g du logarithme de f.
3) Montrer qu'il existe c complexe tel que g(f(z)) = z + c.
4) Conclure."
Je bloque totalement sur la question 2). Au départ j'avais considéré des boules B(0,n) pour dire qu'il existe une détermination gn holomorphe du log de f sur celles-ci, puis que g_(n+1) coïncidait avec g_n sur B(0,n) mais bon, dès le départ ce que j'ai dit est faux (ok c'est un ouvert simplement connexe mais pas inclus dans C*). Ensuite j'ai pensé à réadapter cette idée avec des couronnes, mais ça a l'air compliqué. Avez-vous une idée ? Merci.