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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentielle

Posté par
Kernelpanic
24-05-20 à 17:09

Bonsoir,

comme mon partiel d'analyse complexe tombe mercredi, je m'entraîne avec des exercices que je trouve sur Internet. L'un d'eux m'a intrigué, mais je bloque sur l'une des questions (après celle là, j'arrive à conclure) :

"L'objectif de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de fonction holomorphe f vérifiant f(f(z)) = exp(z). Supposons qu'il existe une telle fonction.

1) Montrer que f(\C) = \C^*
2) Montrer qu'il existe une détermination holomorphe g du logarithme de f.
3) Montrer qu'il existe c complexe tel que g(f(z)) = z + c.
4) Conclure."

Je bloque totalement sur la question 2). Au départ j'avais considéré des boules B(0,n) pour dire qu'il existe une détermination gn holomorphe du log de f sur celles-ci, puis que g_(n+1) coïncidait avec g_n sur B(0,n) mais bon, dès le départ ce que j'ai dit est faux (ok c'est un ouvert simplement connexe mais pas inclus dans C*). Ensuite j'ai pensé à réadapter cette idée avec des couronnes, mais ça a l'air compliqué. Avez-vous une idée ? Merci.

Posté par
Kernelpanic
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 17:11

Pardon, pas de fonction holomorphe f sur \C.

Posté par
GBZM
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 18:10

Bonjour,

Soit \exp : \C \to \C^* le revêtement universel de \C^*. Puisque \C est simplement connexe, f : \C\to \C^* se relève en g : \C\to \C tel que g=\exp\circ f.
Trop rapide ?

Posté par
Kernelpanic
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 18:17

Bonjour GBZM, merci de répondre.

Je n'ai pas vu les revêtements encore, et même avec Internet je dois avouer que je ne comprends pas grand chose... (par ailleurs, ce ne serait pas plutôt f = exp(g) que l'on cherche ?)

Posté par
Kernelpanic
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 18:20

Mon dieu je me suis totalement compliqué la vie... j'ai confondu détermination du logarithme qui demande un ouvert connexe dans C* et détermination holomorphe d'une fonction qui demande un ouvert connexe de C... même si je ne comprends pas le terme "revêtement", je comprends ce que tu dis (si on est sur un ouvert connexe, il existe toujours une détermination holomorphe d'une fonction holomorphe).

Ton intervention m'a fait replonger dans mes cours (2 heures de perdues pour rien !!!). Ca m'apprendra, tiens.

Merci quand même GBZM, en voulant comprendre tes propos, tu m'as fait comprendre mon erreur. Bonne fin de soirée

Posté par
Kernelpanic
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 18:21

sur un ouvert simplement connexe *

Posté par
GBZM
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 24-05-20 à 18:31

Oui, coquille de ma part, c'est f=\exp\circ g.

Le problème avec les exercices sur internet, c'est que tu ne sais pas quel matériel ceux et celles à qui est destiné l'exercice sont supposés avoir !

Ici on peut définir explicitement g de la manière suivante. Puisque f(0)\neq 0, il existe a\in \C tel que \exp(a)=f(0). On pose alors, pour tout z\in \C

g(z)= a+\int_0^1 \dfrac{zf'(tz)}{f(tz)}\,dt\;.

Posté par
Kernelpanic
re : Fonction holomorphe dont la composition donne l'exponentiel 25-05-20 à 11:15

Rebonjour,

oui tout à fait, c'est d'ailleurs ce qu'on utilise dans une proposition de mon cours :

"f admet une une détermination holomorphe de son logarithme si et seulement si f'/f admet une primitive"

puis dans la preuve, on utilise "à peu près" la fonction g de ton message



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