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Niveau Licence Maths 1e ann
Fonction holomorphe pas C1
Posté par LeoZ
Bonjour,
En classe nous avons corrigé un exercice l'autre jour, mais j'ai l'impression que nous avons rajouté une hypothèse...
Soit D un convexe du plan et soit f une fonction holomorphe dans D. Montrer que pour tous a,b 
D on peut trouver deux points c et d sur le segment joignant a et b tels que :
f(a)-f(b) = (a-b)(Re(f'(c))+ i Im(f'(d)))
L'élève qui est passé au tableau a écrit que f(a) - f(b) était l'intégrale sur le segment réel [0;1] de la différentielle de f au point a + t(b-a) appliquée en b-a, par rapport à t. Mais pour écrire cette formule je pensais qu'il fallait que f soit C1. Y a-t-il quelque chose qui vient de l'holomorphie qui puisse nous permettre d'écrire cette intégrale ?
Ensuite, on concluait en sortant le b-a de l'intégrale et en utilisant deux formules de la moyenne.
Merci d'avance
Léo
Si f est holomorphe dans D et u : (x,y) 
Re(f(x + iy)) , v : (x,y) Im(f(x + iy)) de 
= { (x,y) 
² | x + iy D } alors u et v sont différentiables sur .
Bonjour,
Je suis d'accord mais je ne vois toujours pas. La question était de savoir comment appliquer ce résultat sans que f soit de classe C1. A moins que ce théorème ne nécessite en fait que des hypothèses plus faibles ?
mes souvenir de fonctions holomorphes sont loins...mais holomorphe ==> infiniment dérivable donc C1 !
Bonjour,
Je n'ai eu pour l'instant que deux heures de cours là-dessus mais nous n'avons pas vu ça.
Nous avons vu holomorphe 
différentiable et en tout point la différentielle est 
-linéaire. Mais je pense qu'on peut trouver une telle fonction qui ne soit pas C1... Enfin je ne vois pas en quoi ce dernier fait impliquerait la classe C1 ?
Bonjour
Si, si, holomorphe implique . Démonstration non évidente... Ce n'est qu'une des mirifiques propriétés des holomorphes!
Bonjour,
Les fonctions holomorphes sont de classe C infinie, et même développables en série entière. Mais pour cet exo, inutile de le savoir : il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis (pour les fonctions d'un intervalle réel à valeurs dans R), aux parties réelles et imaginaires de f (le long du segment).
Le TAF n'exige que la dérivabilité, pas plus.
Bonjour,
Il me semble que ce résultat est l'equivalent complexe du théoreme des accroissements finis pour les fonctions réelles. Cependant, les parties réelles et complexe de la fonction f sont des fonctions à deux variables, donc pas de TAF "Arkhnor".
Oui, une fonction holomorphe est infiniment dérivable (les conditions de Cauchy Riemann), en particulier de classe .
Mais il y'a un autre résultat de l'holomorphie nécessaire pour cette démonstration:
l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un chemin fermé est nulle.
ou bien on peut le redire de la façon suivante :
l'intégrale d'une fonction holomorphe d'un point à un point
du plan complexe
est indépendante du chemin entre les deux points et
.
c'est ce dernier résultat qui permet d'écrire
et permet ensuite d'utiliser le chemin entre et
Il suffit ensuite d'utiliser des formules de changement de variables dans les intégrales
et le théorème de la moyenne pour les fonctions à variable réelle "".
Quand j'ai précisé "le long du segment", ça signifiait qu'on appliquait le TAF aux parties réelles et imaginaires de . Il me semble que ces fonctions de la variable réelle
étaient déjà présentes dans le tout premier message de
, donc je n'ai pas jugé utile de préciser plus ...
Comme LeoZ ne sait pas, à son stade du cours, que les fonctions holomorphes ont une dérivée continue, l'intégrale que tu écris n'a pas encore de sens pour lui car pas forcément bien définie (bien qu'il n'y ait a posteriori aucun problème)
De plus, attention lorsque tu dis que l'intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un chemin fermé est nulle, il faut quand même des hypothèses de simple connexité sur le domaine de définition ...