Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Fonction lipschitzienne

Posté par
Metaa 16-02-19 à 11:10

Bonjour, je suis bloqué sur une question d'un exo de mon DM.

f est dérivable de [a,b] dans [a,b] telle que :
il existe un k \in ]0,1[, pour tout x\in [a,b], |f'(x)|\leq k

- Montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution a dans [a,b]

Dans un premier temps, j'ai repéré que l'on avait la définition d'une fonction k-lipschitzienne, mais je ne vois pas trop ce que je peux en faire après.

J'ai pensé au théorème de la bijection en posant une fonction g(x)=f(x)-x mais je n'ai aucune information sur les variations de la fonction.

Après, comme f est majorée en module, elle est bornée mais je n'ai pas non plus d'autre idée pour continuer...

Je vous remercie d'avance pour vos pistes.

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 11:24

Bonjour Metaa.

Déjà, tu peux répondre à l'unicité en supposant qu'elle admette deux solutions

a \leq x < y \leq b

f(x) = x

f(y) = y

alors le lemme de Rolle il existe un z \in ]x;y[ \text{ tel que }f'(z) = \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=1 ...

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 11:28

Quant à l'existence, ta fonction g est très bien :

g(a) \geq 0

g(b) \leq 0

Et g est continue ... donc par le Théorème des valeurs intermédiaires ...

Posté par
Metaare : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 11:57

Merci beaucoup

J'ai compris pour l'unicité, et je suis d'accord pour la continuité de g et le TVI, par contre je ne comprends pas pourquoi vous écrivez que g(a)\geq 0 et g(b)\leq 0

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 12:24

si f : [a;b] \rightarrow [a;b] alors alors a \leq f(a) et donc ...
idem  pour b

Posté par
carpediemre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 12:43

salut

soit u = u_0 \in [a, b] et considérons la suite définie par son premier terme u et la relation de récurrence u_{n + 1} = f(u_n)

|u_{n + 2} - u_{n + 1}| = |f(u_{n + 1}) - f(u_n)| \le k|u_{n + 1} - u_n|

par récurrence |u_{n + 1} - u_n| \le k^n |u_1 - u_0| \underset{n \to + \infty}{\to} 0

donc la suite (u_n) converge (car R est complet) vers un réel a vérifiant f(a) = a

et ce réel est unique puisqu'il ne dépend pas du premier terme

Posté par
Metaare : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 14:56

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
etniopalre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 16:29

@carpediem
    Comment vois-tu que   l'élément  c  de   F :=  { x │ f(x) = x }   que tu as   fabriqué    " ne dépend pas du premier terme "  ?

Posté par
carpediemre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 17:31

parce que quand on a une limite L on a |f(u_{n + 1}) - f(L)| < k |u_n - L| et par récurrence |u_n - L| < k^n|u_0 - L| \underset {n \to + \infty} {\to } 0 et ce \forall u_0 \in [a, b]

donc cette limite est unique ...

Posté par
carpediemre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 17:32

pardon !!!

carpediem @ 16-02-2019 à 17:31

parce que quand on a une limite L on a |u_{n + 1} - L| = |f(u_n) - f(L)| < k |u_n - L| et par récurrence |u_n - L| < k^n|u_0 - L| \underset {n \to + \infty} {\to } 0 et ce \forall u_0 \in [a, b]

donc cette limite est unique ...

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 18:31

En fait, le problème résolu par Carpediem vient se rajouter au problème initial et n'en fait pas partie.

Le problème en question est le théorème qui dit que :

Si f : [a;b] \rightarrow [a;b] est k-contractante avec k \in [0;1[ alors toute suite de la forme x_{n+1} = f(x_n),~x_0 \in [a;b] admet pour limite l'unique point fixe de f dans [a;b].

Mais au préalable :

- il faut déjà montrer l'existence du point fixe. Ce que je fais ici Fonction lipschitzienne.

- puis ensuite, sont unicité, ce que je fais ici Fonction lipschitzienne

Et ce sont ces deux points qui intéressaient Metaa.


Eventuellement, j'aurai pu être plus concis en disant que si f admettait deux points fixes a et a',
alors |f(a)-f(a')| \leq k|a-a'| ie |a-a'| \leq k|a-a'| ce qui est absurde si k < 1


Partir d'une suite de type u_n = f(u_{n-1}) ne mène pas à la conclusion.

Au mieux, on a la majoration |u_n-u_p|\leq \dfrac{k^n}{1-k}|u_0-u_1| qui prouve que la suite u a une limite L (car de Cauchy) qui dépend à priori du premier terme.
Naturellement L vérifie par continuité que f(L) = L.

Donc la suite converge et tend vers un point fixe de f.

Mais tant qu'on n'a pas montré que f avait un unique point fixe ...

Posté par
etniopalre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 19:25

Pour moi je vois le problème comme ça
On se donne  a , b , f ....(et  tutti quanti ) .
On pose F := { x [a, b]│ f(x) = x }   et on veut démontrer que F est un singleton .

1.
Si x    on définit la suite vx :    [a, b]  par  vx(0)  = x et  vx(n+1)  = vx(n).
C'est ce que fait Carpem .
Cette suite converge  vers un élément de [a , b] qu'on note c(x)  . Bien sûr que  vx ne converge que vers cet élément .
Pas besoin de ressortir l'affreuse  expression  "unicité de LA limite " .
On a simplement prouvé que F n'est pas vide .

2. Il reste à montrer que l'aàpplication c est constante .
Ce qu'on fait à l'aide du TAF .
Pas besoin d'utiliser  la non moins affreuse expression  "unicité DU  point fixe" .
Et pas besoin non plus de placer cette partie 2 à la place de la 1  (dans l'ordre de la démonstration) et prétendre alors avoir  prouvé qu'il y a unicité .

LA morale de l'histoire  ne plus utiliser les mots " unique , unicité " puisqu'on peut s'en passer ,   mais  préférer les mots de la théorie des ensembles .

Posté par
carpediemre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 19:25

ben si !!

je démontre (par un autre moyen qui est le théorème que tu cites)

que pour n'importe quelle suite (ie n'importe quel premier terme) la suite converge

et si une suite converge vers L (qui vérifie dont f(L)= L) alors mon deuxième post montre que L est unique et ne dépend pas de u_0 ...

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 19:54

Moi, je vais te la dire la morale de cette histoire : c'est qu'on avait un problème simple et qu'une fois de plus on l'a transformé en un immonde bourbier.
Posé à 11:10, à 11:28 c'était ficelé et avec des arguments tout ce qu'il y a de plus simple. Tout le reste est à balancer aux orties.

etniopal @ 16-02-2019 à 19:25


LA morale de l'histoire  ne plus utiliser les mots " unique , unicité " puisqu'on peut s'en passer ,   mais  préférer les mots de la théorie des ensembles .

Et puis quoi encore ??!!??, les mots de la théorie des ensembles ne sont qu'une suite de symboles incompréhensibles.

Posté par
etniopalre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 19:55

Non ,  tu n'as absolument pas montré que  ton L ne dépend pas du  premier  terme de  la suite qui te sert à  le fabriquer .

Posté par
Zormuchere : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 20:53

pour tout x,  |f'(x)|\ge k < 1

g'(x)=f'(x)-1 < 0

d'où l'unicité de la solution de g(x)=0

Posté par
carpediemre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 20:53

mon msg de 19h25 répondait au msg de jsvdb et non pas au msg de etniopal à 19h25 auquel je souscris

soit L la limite de la suite (u_n) pour un certain u_0 donné

soit (v_n) la suite définie de la même façon pour un certain v_0 donné

puisque f(L) = L alors

carpediem @ 16-02-2019 à 17:32

parce que quand on a une limite L on a |u_{n + 1} - L| = |f(u_n) - f(L)| < k |u_n - L| et par récurrence |u_n - L| < k^n|u_0 - L| \underset {n \to + \infty} {\to } 0 et ce \forall u_0 \in [a, b]

donc cette limite est unique ...
où l'on remplace u par v


jsvdb msg de 19h54 : tu avais bien sur bien répondu dans tes premiers msg  ... j'ai simplement voulu proposé une alternative

Posté par
Zormuchere : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 20:54

correction :  |f'(x)|\le k   et non pas   |f'(x)|\ge k

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 16-02-19 à 21:40

@Zormuche : oui, c'est une bonne façon de faire coup double avec la stricte décroissance de g. Encore faut-il préciser que g(a) \geq 0 et g(b) \leq 0.

@carpediem : pour l'alternative, j'avais bien compris ... il y a juste que ça me paraît bancal et sortir du contexte.
Cela dit, il est toujours bon de connaître des choses.

Posté par
Zormuchere : Fonction lipschitzienne 17-02-19 à 06:53

message à l'auteur : quand on demande de prouver qu'une équation admet une unique solution, se référer avant tout au théorème des valeurs intermédiaires strict car c'est très très très souvent lui qu'il faut utiliser

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 17-02-19 à 11:19

Oui, enfin, dans un métrique quelconque, le Théorème des Valeurs Intermédiaires... bof bof bof 🤷‍♀️

Posté par
Zormuchere : Fonction lipschitzienne 17-02-19 à 15:20

dans des intervalles réels bien sûr

Posté par
jsvdbre : Fonction lipschitzienne 18-02-19 à 12:50

Enfin bref, morale de l'histoire, pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple.


Rechercher
Menu
Espace membre
19 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !