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fonction méromorphe, développement de Laurent

Posté par
Zormuche 24-04-20 à 20:28

Bonjour

j'ai une fonction  f  définie sur  \C\setminus\{z_1,z_2\}

f(z)=\dfrac{2}{z^2+2aiz-1}

avec  a>1 un réel, et z_1,z_2 sont les racines du dénominateur (j'ai bien montré qu'il y en a toujours 2 quel que soit a)

Je sais que f est méromorphe sur C puisque c'est une fraction rationnelle

Je dois calculer les résidus aux pôles, donc j'ai cherché à écrire la série de Laurent au voisinage de chacun des pôles
J'ai par exemple fait :

\forall z\in\C\setminus\{z_1,z_2\}\quad f(z)~=~\dfrac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}~=~\dfrac{2}{z-z_2}(z-z_1)^{-1}  mais ce n'est pas la bonne forme, puisque \dfrac{2}{z-z_2} n'est évidemment pas constant

Bref, je n'arrive pas à écrire une série de Laurent avec des  (z-z_1)


j'ai aussi essayé le développement en éléments simples qui donnait  f(z)=\dfrac{2}{z_1-z_2}\left(\dfrac{1}{z-z_1}-\dfrac{1}{z-z_2}\right)  mais il reste toujours le  (z-z_2) dont je ne sais pas quoi faire si je veux garder uniquement du z-z_1

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 20:29

pour le détail, les racines sont

z_1=i(-a+\sqrt{a^2-1})

z_2=i(-a-\sqrt{a^2-1})

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 20:36

Bonjour peut être penser au théorème du résidus

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 20:49

Bonsoir
justement, c'est pour l'appliquer que je veux calculer les résidus
(il est dit dans l'énoncé d'utiliser ce théorème, justement pour calculer l'intégrale sur le chemin gamma défini par gamma(t) = exp(it) pour t dans [0,2pi])

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 20:55

Tant qu'à faire, voici l'énoncé complet

Soit a>1, on pose I=\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{a+\sin(t)}\mathrm{d}t

On considère le lacet  \gamma(t)=e^{it}  pour  t\in[0,2\pi]

1) Montrer que pour tout t, \dfrac{1}{a+\sin(t)}=\dfrac{2\gamma'(t)}{\gamma(t)^2+2ia\gamma(t)-1}

2) Exprimer  I  comme une intégrale le long de  \gamma

3) Déterminer les racines de  z^2+2iaz-1  dans   \C

4) déterminer les racines de  z^2+2iaz-1  dans   B(0,1)

5) En appliquant le théorème des résidus à l'intégrale de long de  \gamma considérée en 2), calculer la valeur de  I



Si quelqu'un sait comment faire les grandes intégrales, je suis preneur, le \displaystyle ne fonctionne pas

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 20:59

De manière générale.  Après le développement en série de Laurent sur une couronne

Tu as : b_1=lim_{z->z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[\frac{1}{(n-1)!}(z-z_0)^nf(z)]

b1 étant un pôle d'ordre n , donc tu vas considérer tour à tour , z1, comme étant le résidus que tu désire calculer , dans ce cas ton f(z)=\frac{2}{z-z_2}

Dans ce cas b1=z1 qui est un pôle d'ordre simple  , tu fais de même pour z2 en considérant
F(z) =.... ensuite une fois z1 et z2 déterminés applique le théorème du résidus

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 21:21

Peut être je ne m'explique pas bien...

Bon moi je désire calculer le Re_{z_1}(f)=\frac{1}{(1-1)!}lim [\frac{d^{1-1} }{dz^{1-1}}(z-z_1)^1f(z)] ,(z->z_1) car z1 est un pôle d'ordre simple

Ce qui avec f(z)=2/(z-z2)

Re_{z_1}(f)=lim\frac{2(z-z_1)}{z-z_2)}=0,(z->z_1)

Tu fais de même pour calculer le RRe_{z_2}(f)

Ensuite pour déterminer  f(z)=\frac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}

Tu utilises le théorèmes des résidus.

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 21:32

Les deux dernières lignes oublies , ça ne rien en rapport avec l'exercice vu que tu dois juste déterminer les résidus aux pôles...

Prototipe19 @ 24-04-2020 à 21:21

Peut être je ne m'explique pas bien...

Bon moi je désire calculer le Re_{z_1}(f)=\frac{1}{(1-1)!}lim [\frac{d^{1-1} }{dz^{1-1}}(z-z_1)^1f(z)] ,(z->z_1) car z1 est un pôle d'ordre simple

Ce qui avec f(z)=2/(z-z2)

Re_{z_1}(f)=lim\frac{2(z-z_1)}{z-z_2)}=0,(z->z_1)

Tu fais de même pour calculer le RRe_{z_2}(f)

Ensuite pour déterminer  f(z)=\frac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}

Tu utilises le théorèmes des résidus.

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 22:10

Res_{z_1}(f)=lim(z-z_1)f(z)=lim\frac{2(z-z_1)}{(z-z_1)(z-z_2)}=\frac{2}{(z_1-z_2)}

Un raisomment analogue nous donne

Res_{z_2}(f)=\frac{2}{z_2-z_1}

Et d'après le théorème du résidus

\int _{\gamma}f(z)dz=Res_{z_1}(f)+Res_{z_2}(f)=\frac{2}{z_1-z_2} + \frac{2}{z_2-z_1}

Désolé je suis actuellement sur le chapitre et je me suis un peu emmêlé les pinceaux dans les postes précédant.  Je pense que la c'est correcte .

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 22:59

La question 1) il suffit de remplacer \gamma(t)=e^{it} dans le terme à droite de l'égalité et tu retrouves bien \frac{1}{a+sin(t)}

Le 2) \int _{\gamma}f(z)dz=\int_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t))}\gamma'(t)dt => f(z)=\frac{2}{z^2+2iaz-1}  et \gamma'(t)dt=dz (identification )

A priorie tu dois intégrer sur le lacet \gamma(t)=e^{it}=B(0,1) ' c'est le calcul que je t'ai proposé par le théorème du résidus...

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 23:23

Prototipe19 @ 24-04-2020 à 22:10

Res_{z_1}(f)=lim(z-z_1)f(z)=lim\frac{2(z-z_1)}{(z-z_1)(z-z_2)}=\frac{2}{(z_1-z_2)}

Un raisomment analogue nous donne

Res_{z_2}(f)=\frac{2}{z_2-z_1}

Et d'après le théorème du résidus

\int _{\gamma}f(z)dz=Res_{z_1}(f)+Res_{z_2}(f)=\frac{2}{z_1-z_2} + \frac{2}{z_2-z_1}

Désolé je suis actuellement sur le chapitre et je me suis un peu emmêlé les pinceaux dans les postes précédant.  Je pense que la c'est correcte .
j'ai oublié le 2ipi au niveau de la formule du résidus

Posté par
Kernelpanicre : fonction méromorphe, développement de Laurent 24-04-20 à 23:38

Salut Zormuche,

tu sais que pour une fonction méromorphe f, z_0 est un pôle d'ordre m si et seulement si il existe une fonction méromorphe g, holomorphe dans un voisinage de z_0 tel que :


f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-z_0)^m}

dans un voisinage de z_0

De plus, on peut montrer que \text{res}_{z_0}(f) = \dfrac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!} (tu dois juste faire un développement en série entière de g et tu vois pourquoi).

Ici clairement tu as des pôles d'ordre 1 et tu as la fonction g (qui est 2/(z-zi) où zi est l'autre pôle) si je vois ce que tu as écrit, donc tu as juste à l'évaluer aux pôles pour avoir tes résidus.

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 00:58

Prototipe19 Merci, mais c'est uniquement la question 5) que je n'ai pas finie

Kernelpanic c'est très clair, et j'ai effectivement ça dans mon cours
Mais qu'est-ce qui justifie que les pôles ici sont "clairement" d'ordre 1 ?

Et par curiosité, j'aimerais quand même voir le développement de Laurent de cette fonction, car c'est comme ça qu'on définit dans mon cours pour la première fois le résidu :
Si la fonction f admet un développement de Laurent \sum_{n\in\Z} a_n(z-z_0)^n  alors le résidu en z_0 est a_{-1}

Posté par
Kernelpanicre : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 10:58

Justement c'est par la proposition que je t'ai cité plus haut, ici m = 1.
Je ne sais pas quelle est ta définition de pôle d'ordre m dans ton cours parce qu'il y en a deux équivalentes. Si tu as cette proposition dans ton cours, alors tu peux remarquer :

g(z) = (z-z_0)^m f(z) dans un voisinage de z0

De plus cette fonction est holomorphe en z0 donc par son développement de Taylor :

g(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n

On a alors dans un voisinage épointé de z0 :

f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^{n-m} = \sum_{n=-m}^{+\infty} a_{n+m}(z-z_0)^n

Donc par prolongement analytique, le développement en série de Laurent va coïncider avec le terme à droite de l'égalité ci-dessus. Maintenant si tu développes à la main, tu vois que le terme de résidu "a_{-1}" est égal à "a_{(m-1)-m}". Comme on a divisé par (z-z_0)^m le développement de Taylor de g, on a poussé à gauche les termes de m-1 cases donc on a juste besoin de dériver g (m-1) une fois et de diviser par (m-1)! pour obtenir le a_{-1} du développement en série de Laurent que tu veux pas besoin de le faire explicitement ce développement !

Posté par
Kernelpanicre : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 11:00

Citation :
on a poussé à gauche les termes de m cases


pardon

Posté par
Kernelpanicre : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 11:06

Mais ici si tu veux faire le développement en série de Laurent, tu as juste à appliquer mon raisonnement sur les fonctions

z \mapsto \dfrac{2}{z-z_1}

et

z \mapsto \dfrac{2}{z-z_2}

en les développant en série entière puis en divisant par la bonne quantité pour faire apparaître des puissances négatives (ici ça va pas être trop dur !)

Posté par
carpediemre : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 12:58

salut

en notant u et v les racines du dénominateur on a :

f(z) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} - \dfrac 1 {z - v} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} - \dfrac 1 {z - u - (v - u)} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} + \dfrac 1 {v - u} \dfrac 1 {1 - \dfrac {z - u} {v - u}}} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left[ \dfrac 1 {z - u} + \dfrac 1 {v - u} \sum_0^{+\infty} \left( \dfrac {z - u} {v - u}\right)^n \right]

on en déduit que le résidus de f en u est 2/(u - v)

on trouverait l'opposé en v par le même calcul ...

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 18:15

carpediem bien vu, j'essayais depuis le début de faire apparaître une série géométrique mais sans y arriver, on voit bien les coeff là

Kernelpanic c'est encore plus clair maintenant avec ces histoires de g holomorphe donc admettant un développement de Taylor, d'où l'ordre de z_0 qui est défini chez moi comme étant l'opposé du plus petit n tel que a_n est non nul

Merci à tous, je pense que j'ai tout ce que je voulais maintenant

Posté par
carpediemre : fonction méromorphe, développement de Laurent 25-04-20 à 19:44

de plus ma formule montre bien qu'on se place dans un disque de centre u évidemment mais de rayon inférieur strictement à |u - v| donc ne contenant pas le deuxième pôle pour assurer la convergence de la série ...

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 00:42

carpediem @ 25-04-2020 à 12:58

salut

en notant u et v les racines du dénominateur on a :

f(z) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} - \dfrac 1 {z - v} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} - \dfrac 1 {z - u - (v - u)} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left( \dfrac 1 {z - u} + \dfrac 1 {v - u} \dfrac 1 {1 - \dfrac {z - u} {v - u}}} \right) = \dfrac 2 {u - v} \left[ \dfrac 1 {z - u} + \dfrac 1 {v - u} \sum_0^{+\infty} \left( \dfrac {z - u} {v - u}\right)^n \right]

Ah ça !  Il fallait le voir , merci . Au cours d'un examen de 2h ce genre d'approche il faut au moins l'avoir vu une fois,  sinon avoir une inspiration divine merci monsieur , ça m'aide également sur le chapitre

on en déduit que le résidus de f en u est 2/(u - v)

on trouverait l'opposé en v par le même calcul ...

Posté par
carpediemre : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 08:49

de rien

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 18:18

je reviens ici parce que j'ai un problème avec le calcul de l'intégrale par le théorème des résidus

On a les hypothèses vérifiées, donc on sait que  \int_\gamma f(z)\mathrm{d}z = \operatorname{Ind}_\gamma(z_1)\operatorname{Res}(f,z_1)+\operatorname{Ind}_\gamma(z_2)\operatorname{Res}(f,z_2)

Je rappelle également qu'on a :
z_1=i(-a-\sqrt{a^2-1})
z_2=i(-a+\sqrt{a^2-1})          et a est un réel strictement supérieur à 1

Le lacet étant  \gamma(t)=e^{it} pour t\in[0,2\pi], il décrit parfaitement le cercle unité

Il est clair ici que z_1 est à l'extérieur de la boule unité, et z_2 à l'intérieur. Donc on devrait avoir   \operatorname{Ind}_\gamma(z_1)=0  et  \operatorname{Ind}_\gamma(z_2)=1     et par suite,  \int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\operatorname{Res}(f,z_2)

Or on a montré que le nombre \operatorname{Res}(f,z_2)  valait \dfrac{2}{z_2-z_1}=\dfrac{2}{i(2\sqrt{a^2-1})}\notin\R  


ce qui voudrait dire, en reprenant du début de l'exercice, qu'on a  :
\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{a+\sin(t)}\mathrm{d}t~=~\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z ~=~ \operatorname{Res}(f,z_2)~\notin ~\R   ?????

Posté par
carpediemre : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 18:26

ne manquerait-il pas le facteur 2 \pi i ?

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 18:32

Mdr je l'avais négligé en me disant que ce n'était qu'un réel... j'ai oublié qu'il y avait un i dedans
c'est sûr ça change tout

Posté par
carpediemre : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 18:52

ça c'est exactement le genre de con ... qui arrive à tout le monde !!!

on se focalise sur un truc qui pose pb puis ensuite on oublie la formule exacte (constante) ou une hypothèse et ... ça continue à mer...

Posté par
Prototipe19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 21:51

Zormuche du coup moi je trouvais les même résidu en passant par la formule des limites ... ça c'est le chemin que j'emprunte quand j'ai pas d'autres issue plus prudent ... Mais j'avoue que carpediem a été très élégant dans sa décomposition

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 23:04

Je reviens car j'ai un autre problème sur le calcul des intégrales

Si je veux calculer l'indice du point 1/2, le résultat devrait être 1

\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\gamma(t)-\frac{1}{2}}\gamma'(t)\mathrm{d}t~=~\int_0^{2\pi}\dfrac{ie^{it}}{e^{it}-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t

J'ai une primitive qui est la fonction  t\mapsto \ln(-1+2e^{it})

\dots ~=~ \left[\ln(-1+2e^{it})\right]_0^{2\pi}~=~\ln(-1+2e^{2i\pi})-\ln(-1+2e^0)~=~0

Puis je divise par 2i*pi ce qui donne toujours 0...

Sur wolfram je trouve bien le résultat que je veux pourtant :
fonction méromorphe, développement de Laurent

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 23:20

c'est sûrement un problème de continuité, je ne sais pas exactement quelle sont les primitives de 1/x en complexe

Posté par
XZ19re : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 23:39

Bjr
En tout cas tu peux réfléchir à ta primitive! Par exemple quand tu prends t=\pi .
Sinon tu décomposes en partie réelle et partie imaginaire...    

Posté par
Zormuchere : fonction méromorphe, développement de Laurent 26-04-20 à 23:54

Ok donc si je ne me trompe pas, la fonction qu'on appelle communément "ln complexe" est définie sur C \ R- ? donc je dois calculer l'intégrale sur 0,pi puis sur pi,2pi ?


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