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Fonction usuelle
Bonjour à tous. Je bloque sur un exercice j'aimerais donc avoir les indications pour pouvoir continuer l'exercice en question est le suivant : On considère les fonctions et
Définition sur ]0;+
[.
1-) justifier que ces deux fonctions sont infiniment dérivable sur[0;+[
2-a) calculer les limites de U(x) lorsque x tend vers 0 par valeur supérieure et ensuite lorsque x tend vers +. Montrer que U se prolonge par continuité sur ]0;+[
2-b) calculer la dérivée de U sur]0;+[ 2-c) montrer que le graphe de prolong
ement de U à ];+[admet en 0 une tangente verticale.
2-d) dresser le tableau de variation de U sur [0;+[
2-e) montrer que l'équation U(x) =1 admet une unique solution que l'on déterminera. On le note 
3-a) calculer les limites de f quand x tend vers 0 par valeur supérieure et vers + en déduit que f se prolonge par continuité sur [0;+[
3-b) calculer la dérivée de f sur [0;+[et exprime la en fonction de U.
3-c) dresser le tableau de variation de f sur]0;+[
3-d) montrer que f est une bijection de I1=[0;] dans I2=
4-a) x<y< à l'aide du théorème des accroissements finis applique à f sur [x;y] montrer que
4-b) en déduire que y< on a . Voici ce que j'ai fais .
1) x
DF 
x>o donc Df =[0+[; et xDux>0 donc Du=[0;+[
D'où f et u sont dérivable sur ]0;+[.
2-a) de même
Zéro n'appartient pas l'ensemble de définition de u et la limite en zéro existe et est fini alors il est prolongeable par continuité sur] 0;+[.
b) u'(x)=(lnx)²+2lnx+1
2-c) cela me bloque . Merci d'avance.
a/ ensemble de définition de la fonction arctan
b/ ensemble de définition de la fonction ln et donc ensemble d'arrivée
x --> ln x --> arctan (ln x)
c/ conclusion ?
a/ arctan est défini sur 
b/ ln est défini sur]0+[ et son ensemble d'arriver est
xDf x]0;+[ donc f est infiniment dérivable sur [0;+[ . Je fais pareil pour u et je conclus. Mais je vois pas pourquoi c'est fermer en zéro en 0
non !!
f et u sont définies (et dérivables) sur l'intervalle ]0, +oo[
ensuite il faut montrer que :
a/ f et u sont prolongeables en 0
b/ f et u sont dérivables en 0 (indéfiniment)
PS : indéfiniment et pas infiniment
PPS : en même temps c'est contradictoire pour u pour laquelle on parle de tangente verticale en 2b/
Bonsoir
a/ on a 0
Df et 0Du et
Donc f et u sont prolongeable par continuité en 0
b/ f eu u sont dérivable en 0 si et seulement si et
existent et sont finies ; mais comment calculer f(0) et u(0)?
ben en prolongeant par continuité !!
on pose et idem pour u
tu peux toujours prolonger une fonction comme tu veux ... en posant par exemple
mais si tu veux parler de dérivabilité en 0 le seul prolongement possible est le prolongement par continuité ... puisque pour qu'une fonction soit dérivable en un point il faut qu'elle soit continue en ce point !!
maintenant il te faut calculer la limite de ces taux de variation
Ok , f et u ne sont pas continues en 0.
comment répondre à votre question b/ du poste le 27-10-22 à 19:17?
Disant que f et u ne sont pas continues en 0 donc elles ne peuvent être dérivable en 0 alors ?
D'accord maintenant pour les taux de variation en remplaçant f(0) par π/2 et u(0) par 0 je n'arrive pas à faire pour f concernant u je trouve .
que dois-je faire ?
ok pour la dérivabilité ...
il faut cependant un petit argument supplémentaire pour conclure que f est indéfiniment dérivable
et je te rappelle que c'est faux pour u d'après 2b/
je t'invite à tracer les fonctions f et u sur ggb
Voilà je vois que f a 2 sens de variation sur [0;+[ et se rapproche de l'axe des x en+ ; u a 3 sens de variation sur [0;+[ et se rapproche de l'axe des y en+ ;u et f ont 2 point d'intersection . Maintenant il manque quelle remarques pour conclure ?
ce n'était pas pour les variations que je te demandais une figure ... même ça va servir pour savoir ce qu'on doit obtenir mais c'est pour l'étude des limites en 0 et de la dérivabilité éventuelle de f et u en 0
on voit bien (en zoomant éventuellement) que f est dérivable en 0 mais pas u
il existe un théorème simple pour affirmer que f' est elle-même dérivable et même Coo donc que f l'est elle-même ...
Oui je vois en zoomant le graphe de u se débarrasse du point 0 donc u ne peut être indéfiniment dérivable sur [o;+[. Donc u ne vérifie pas les conditions alors?
il existe un théorème simple pour affirmer que f' est elle-même dérivable et même Coo donc que f l'est elle-même ...
Pour x>0
1/ il est évident que le dénominateur ne peut s'annuler (à justifier)
2/ toute fonction composée par produit, somme, quotient, composée de fonctions Coo l'est aussi
Ok donc pour conclure avec f on peut dire que :
-f est défini sur]0;+[
-f est continue sur]0;+[
-f est indéfiniment dérivable en 0
Donc f est indéfiniment dérivable sur]0;+[
-f est définie , continue et indéfiniment dérivable sur]0 ; +
[
-f se prolonge par continuité en 0 et y est indéfiniment dérivable
Donc f est indéfiniment dérivable sur[0 ; +
[le dire c'est bien, le démontrer c'est mieux
... et c'est ce qu'on a fait ...Bonjour
2--a)
0Du et on a une limite finie en 0 donc u est prolongeable par continuité en 0 d'où sur]0;+[
2-b) 
xDu; u'(x)=(lnx)²+2lnx+1
2-c) donc le graphe de prolongement de u admet en 0 une tangente verticale
2-d) resolvons u'(x)=0 j'ai trouvé -1Du donc u est strictement croissante sur]0;+[ c'est bon pour avant d'aborder la suite ?
ouais ça me semble convenable
dérivée de u : ne reconnais-tu rien ?
et tu n'as toujours pas répondu à la contradiction que j'ai relevée :
en fait je pense que la question 1/ est :
1-) justifier que ces deux fonctions sont indéfiniment dérivables sur ]0 ; +[
vu les questions 2/ et 3/ ...
Ok
dérivée de u : ne reconnais-tu rien ?
La question 1) avant 2et 3) me gène pas beaucoup même si on doit reprendre ce qu'on a fait en 1) et je pense que c'est possible si cela résous le problème . C'est un devoir au CM donc il se peut que ça soit un piège .
il n'y a pas de piège il y a erreur !! puisque c'est faux pour u et contradictoire entre les questions ...
en vois-tu rien
Qu'est ce qui devrait être là pour ne pas avoir l'erreur à votre avis ?
Tout ce que je vois est que u'(x)=(lnx+1)²
2-e) je fais u(x)-1 = p(x)
et p'(x)= u'(x) donc p est strictement croissante sur ]0;+
[ ; donc p(x)=0 admet une unique solution d'où u(x)=1 admet une unique solution . Maintenant comment déterminer cette situation ?
totalement inutile de passer par p ... et ne pas garder u ?
lim u (x) =... ? (en 0)
lim u(x) = ... ? (en +oo)
variation de u ?
conclusion avec le TVI
un graphique donne immédiatement la solution ... qui saute aux yeux avec l'expression de u !!
On a déjà calculé ces limites en 2-a); il faut reprendre ici encore ?
Je vois avec le graphe de u : c'est lorsque x=1.
Maintenant qu'est-ce qu'il faut dire pour conclure avec le Tableau de Variation ?
comme je l'ai dit pourquoi travailler avec p au lieu de u et d'autant plus si tout a déjà été fait !!
ensuite pour appliquer un théorème (ici le TVI) il faut vérifier des hypothèses : variation de u, limite aux bornes
ici il suffit de les rappeler puisque ça a déjà été fait ... et tant mieux !!
enfin l'expression de u montre immédiatement que u(1) = 1 ... mais si on ne le voit pas ben un graphique ça aide !!
Bonsoir à tous
ensuite pour appliquer un théorème (ici le TVI) il faut vérifier des hypothèses : variation de u, limite aux bornes
ici il suffit de les rappeler puisque ça a déjà été fait ...
On a u'(x)=(lnx+1)^2 >0 donc u(x) est strictement croissante sur ]0;+
[ d'ou l'équation u(x)=1 admet une unique solution
c'est bon ?
u'(x) > 0 sue l'ensemble ]0, 1/e[ U ]1/e, +oo[ donc u est strictement croissante sur l'intervalle ]0, +oo[
+ rappeler les limites en 0 et +oo
donc ... (conclusion)
Bonsoir
Je vois maintenant. Mais pourquoi as-tu considéré l'intervalle privé de 1/e
3-a) et 3-b ) on a
parce que u'(e) = 0 donc la dérivée n'est pas strictement positive sur l'intervalle ]0, +oo[
mais la nullité en un point ne change rien en ce qui concerne la stricte croissante (comme par exemple la fonction cube) ...
0.
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