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Fonction zeta de Riemann

Posté par Profil Ramanujan 21-07-17 à 01:58

Bonsoir,

On cherche à calculer la valeur de \zeta(7) à 10^(-6) près.

Je bloque sur le raisonnement suivant ça fait 2 jours que j'y arrive pas je comprends pas le rapport avec l'arrondi à 6 chiffres après la virgule ... Je vois que notre zeta(7) doit etre compris entre S-epsilon et S+epsilon (S désigne la somme) mais pourquoi on parle d'arrondir ?!

Si n est un entier non nul donné tel que |\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^7}-\zeta(7)| \leq \frac{10^{-6}}{2} alors une valeur approchée de \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^7} à \frac{10^{-6}}{2} près c'est-à-dire arrondi à la 6eme décimale la plus proche est une valeur approchée de \zeta(7) à 10^{-6} près.

J'ai juste écrit l'inégalité sans les valeurs absolues :

\sum_{k=1}^{7} \frac{1}{k^7}-\frac{10^{-6}}{2} \leq \zeta(7) \leq \sum_{k=1}^{7} \frac{1}{k^7} + \frac{10^{-6}}{2}

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 08:08

Bonjour.

Donc la valeur numérique de \zeta(7) avec 6 chiffres après la virgule vaut ?

Posté par
jokassre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 10:15

Salut,

"pourquoi on parle d'arrondir?"; et bien vas-y calcul la somme INFINI si tu ne veux pas arrondir ^^.

Ensuite ta première affirmation est vrai, il existe un entier qui arrondit la fonction pour la valeur 7.  Mais après tu pose n=7 sans expliquer pourquoi c'est le cas.
Et pour finir tu ne calcules pas la somme des entiers, tu écrit simplement une inégalité sans expliquer ta démarche.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 14:51

Comment savez vous qu'il faut arrondir à 10^(-6) près et pas à 10^(-8) près ? Le epsilon c'est la bande où on veut que notre valeur de zeta(7) ne sort pas...

Sinon j'ai majoré le reste : R_n (x) \leq \frac{1}{(x-1)n^{x-1}}

Soit p un entier supérieur ou égal à 2 et epsilon >0

On veut que |R_n(p)| \leq \epsilon

Ça donne comme condition : n \geq E(\frac{1}{\epsilon (p-1)}^{\frac{1}{p-1}})+1


Pour p=7  et epsilon=10^(-6) /2 : N =8+1=9

Je calcule ma somme avec la calculatrice :
\sum_{k=1}^{7} \frac{1}{k^7} = 1,0083490549

Donc j'ai :

1,0083490549-\frac{10^{-6}}{2} \leq \zeta(7) \leq 1,0083490549+\frac{10^{-6}}{2}

Enfin : 1,0083485549 \leq \zeta(7) \leq 1,0083495549

Maintenant comment savoir combien de chiffre prendre après la virgule ? Je dois prendre la valeur au milieu du minorant et majorant de zeta(7) ?

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 14:53

Ma somme des (1/k)^7 va bien jusqu'à 9 j'ai fait une erreur de frappe et j'ai pris 10 chiffres après la virgule pour le résultat de la somme.

Posté par
jokassre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 16:37

Si on te demandes d'arrondir à 10-6 tu arrondis à 10-6, si on te demandes 10-8 c'est 10-8.
Quel est le problème au juste?

Je pense que ici le problème n'est pas de répondre à la question mais de la comprendre non?

Ensuite tu as écris le résultat il me semble. Relis ton premier message: "alors [...] est une valeur approchée de zeta(7)"

Si ton inégalité est vérifié c'est terminé non?

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 18:11

Bonsoir.

Pour vérification :

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 18:13

Le lien direct ne fonctionne pas.

L'adresse est : https://oeis.org/A013665

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 18:45

Je pense avoir trouvé...
Si je prends :

\zeta(7)=1,008349 j'ai bien 1,0083495 \leq \zeta(7) \leq 1,0083485

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 18:51


donc 1,0083485 > 1,0083495 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 18:59

En effet, j'ai inversé les 2 !

Après la phrase avec 10^(-6)/2 je l'ai trouvé dans une indication, ça veut dire quoi une valeur approché à 10^(-6)/2 près ?

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 19:26

si on veut arrondir un nombre comme 12,4365879

1ere étape

au dixième (10-1), on garde le nombre avec 1 chiffres après la virgule : 12,4
au centième (10-2), on garde le nombre avec 2 chiffres après la virgule : 12,43
au millième (10-3), on garde le nombre avec 3 chiffres après la virgule : 12,436

2ième étape

On regarde le chiffre suivant :

au dixième   12,4365879
au centième 12,4365879
au millième 12,4365879

3ième étape

Si ce chiffre est un 5, un 6, un 7, un 8 ou un 9, on ajoute 1 au chiffre précédent du nombre gardé.

au dixième   12,4
au centième 12,44
au millième 12,437

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 21-07-17 à 22:31

Oui merci j'ai compris je sais arrondir à 10^(-6) mais comment je fais pour 10^(-6)/2 ?

a=1,0083490549

Si j'arrondis à 10^(-6) => 1,008349

Mais je sais pas arrondir à 10^(-6) /2

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 22-07-17 à 09:14

Bonjour.

Citation :
On cherche à calculer la valeur de \zeta(7) à 10^(-6) près.


Il serait peut-être plus simple de calculer d'abord \zeta(7) comme vous l'avez fait avec votre calculatrice.

\zeta(7) = \sum_{n = 1}^{+\infty}{\frac1{n^7}} = 1 + \frac1{2^7} + \frac1{3^7} + \frac1{4^7} + \cdots = 1, 008 349 277 381... \\

Puis d'arrondir au millionième (10^{-6}) :

\zeta(7) \approx 1, 008 349

Ainsi :

1, 008 349 - 10^{-6} \leqslant \zeta(7) \leqslant 1, 008 349 + 10^{-6}

Rappel : une valeur approchée d'un nombre réel x à la précision \epsilon ou à \epsilon près, avec \epsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*} est un réel a tel que | x - a | \leqslant \epsilon, c'est-à-dire tel que a - \epsilon \leqslant x \leqslant a + \epsilon.

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 22-07-17 à 18:04

Merci !

Mais je veux une valeur approchée de zeta(7) à 10^(-6)/2 près et pas 10^(-6) je peux toujours prendre 1,008349 ?
Apparemment ça marche.

Posté par
bbomathsre : Fonction zeta de Riemann 22-07-17 à 18:34

Ma question va peut être semblé idiote et mon insistance pénible mais pourquoi avez-vous écrit :

Citation :
On cherche à calculer la valeur de \zeta(7) à 10^(-6) près.

et
Citation :
je veux une valeur approchée de zeta(7) à 10^(-6)/2 près


Quelque chose m'échappe...

Posté par Profil Ramanujanre : Fonction zeta de Riemann 22-07-17 à 21:30

Parce que ça vient de :

"Si n est un entier non nul donné tel que |\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^7}-\zeta(7)| \leq \frac{10^{-6}}{2} alors une valeur approchée de \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^7} à \frac{10^{-6}}{2} près est une valeur approchée de \zeta(7) à 10^{-6} près."


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