Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. SecondeForum de Maths Seconde FonctionsTopics traitant de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 15:15

Effectivement c'est sous forme de fraction

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 15:26

\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}

Dénominateur commun x^3

=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{x}{x^3}=\dfrac{1-x}{x^3}

0<x\leqslant 1  quel signe ?

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 15:45

1/x³>1/x²

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 15:51

Oui, mais il faudrait être plus explicite

\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}\geqslant 0.

Il en résulte \dfrac{1}{x^2}\leqslant \dfrac{1}{x^3}

Préférez ce sens pour faire le lien avec le résultat précédent.

\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{x^2}\leqslant \dfrac{1}{x^3}

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 15:59

D'accord !

Eh bien à dire vrai je suis bien contente que ce soit fini ce chapitre.

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 16:01

Mais, il ne faudra pas l'oublier, les fonctions sont partout.

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:04

Le problème c'est qu'on ne pratique pas assez aussi

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:11

Lorsque 0<x<1
On peut conjecturer  que 1/x<1/x²<1/x³.

2 a.  Soit pour un réel x>ou égal à 1 on compare x,x² et x³:

X²-x= x (x-1)
        = x²-x> 0
Donc x² x

X³-x² = x²(x-1)
          = x³-x²1

Donc x³x²

Conclusion : 1xx²x³

b. La fonction inverse étant une fonction inverse décroissante sur [1;+infini[ je peux en deduire  que 1/x1/x²1/x³.

3. Soit pour des réels dans le cas où 0<x1 :

1/x-1/x²= x/x²-1/x = (x-1)/x²
Donc pour o<x1
1/x1/x²

1/x³-1/x² = 1/x³-x/x³ =(1-x)/x³

1/x³ -1/x²0

Donc pour pour 0<x1
1/x²1/x³

Conclusion : 1/x1/x²1/x³

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:12

J'ai tout remis au propre...

Tout est OK!?

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 16:14

Tout aussi vrai
Peu de temps pour les exercices et peu de démonstrations, en outre les maths ont un aspect cumulatif.

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:20

Vous êtes professeur ou vous faîtes des études en mathématiques ?

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:22

C'est pourquoi arrivé au lycée beaucoup d'élèves se retrouvent largué en math comme moi ...

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 16:25

Sans oublier le programme bien plus conséquent qu'en troisième à traiter en un minimum de temps.
Je vous laisse rédiger cet exercice, s'il y a des questions, posez les.

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 16:33

Sandra0711 @ 23-04-2022 à 16:11

Lorsque 0<x<1
On peut conjecturer  que 1/x<1/x²<1/x³.

2 a.  Soit pour un réel x>ou égal à 1 on compare x,x² et x³:

X²-x= x (x-1)
        = x²-x> 0
Donc x² x

X³-x² = x²(x-1)
          = x³-x²1

Donc x³x²

Conclusion : 1xx²x³

b. La fonction inverse étant une fonction inverse décroissante sur [1;+infini[ je peux en deduire  que 1/x1/x²1/x³.

3. Soit pour des réels dans le cas où 0<x1 :

1/x-1/x²= x/x²-1/x = (x-1)/x²
Donc pour o<x1
1/x1/x²

1/x³-1/x² = 1/x³-x/x³ =(1-x)/x³

1/x³ -1/x²0

Donc pour pour 0<x1
1/x²1/x³

Conclusion : 1/x1/x²1/x³

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 16:48

Lorsque 0<x<1
On peut conjecturer  que 1/x<1/x²<1/x³.

2 a.  Soit pour un réel x>ou égal à 1 on compare x,x² et x³:

X²-x= x (x-1) attention à la casse X\not= x
        = x²-x> 0 il faudrait justifier
Donc x² x

X³-x² = x²(x-1) pb de casse
          = x³-x²1 Non on a dit 0

Donc x³x²

Conclusion : 1xx²x³

b. La fonction inverse étant une fonction inverse décroissante sur [1;+infini[ je peux en deduire  que 1/x1/x²1/x³.

Il serait préférable de garder toujours le même sens pour l'inégalité  \leqslant ce n'est pas une obligation


3. Soit pour des réels dans le cas où 0<x1 :

1/x-1/x²= x/x²-1/x = (x-1)/x²
Donc pour o<x1 confusion o et 0
1/x1/x²

1/x³-1/x² = 1/x³-x/x³ =(1-x)/x³

1/x³ -1/x²0

Donc pour pour 0<x1 erreur de sens
1/x²1/x³

Conclusion : 1/x1/x²1/x³

Il faudrait donner aussi un minimum de justification

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 17:22

Sandra0711 @ 23-04-2022 à 16:11

Lorsque 0<x<1
On peut conjecturer  que 1/x<1/x²<1/x³.

2 a.  Soit pour un réel x>ou égal à 1 on compare x,x² et x³:

X²-x= x (x-1)
        = x²-x> 0 comme produit de deux réels positifs,
Donc x² x

X³-x² = x²(x-1)
          = x³-x²

Donc x³x²

Conclusion :
1/x³1/x²1/x

b. La fonction inverse étant une fonction  décroissante sur [1;+infini[ je peux en deduire  que 1/x1/x²1/x³.

3. Soit pour des réels dans le cas où 0<x1 :

1/x-1/x²= x/x²-1/x = (x-1)/x²
Donc pour 0<x1
1/x1/x²

1/x³-1/x² = 1/x³-x/x³ =(1-x)/x³

1/x³ -1/x²0

Donc pour  0<x1
1/x²1/x³

Conclusion : 1/x1/x²1/x³


Par contre pour la fin je ne vois pas quoi dire pour justifier !?

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 18:03

Lorsque 0<x\leqslant1, on peut conjecturer   que \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{x^2}\leqslant \dfrac{1}{x^3}

2 a On compare pour x\geqslant 1,\  x,\ x^2,\ x^3

Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence

x^2-x=x(x-1)

Étant le produit de deux nombres positifs , x^2-x est positif. Par conséquent, on a x\leqslant x^2

x^3-x^2=x^2(x-1)

Étant le produit de deux nombres positifs, x^3-x^2 est positif. Par conséquent, on a x^2\leqslant x^3.

En reprenant les deux inégalités précédentes, on a montré que pour tout x\geqslant 1,\ x\leqslant x^2\leqslant x^3. \\

b. La fonction inverse étant une fonction  décroissante sur [1;~;~ +\infty[, on peut en déduire :  

\dfrac{1}{x^3}\leqslant \dfrac{1}{x^2}\leqslant \dfrac{1}{x}

3. On considère maintenant le cas où 0<x\leqslant 1.

\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}= \dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}

Le numérateur étant négatif et le dénominateur strictement positif, \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \leqslant 0.

Par conséquent, pour x\in]0~;~1]\ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{x^2}

\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}= \dfrac{1}{x^3}-\dfrac{x}{x^3}=\dfrac{1-x}{x^2}

\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}\geqslant 0 comme quotient d'un terme positif et d'un terme strictement positif.

\dfrac{1}{x^2}\leqslant  \dfrac{1}{x^3}.

On a donc montré que pour x\in ]0~;~1] \ \dfrac{1}{x^2}\leqslant  \dfrac{1}{x^3}.

En regroupant les résultats, on a

Pour x\in ]0~;~1] \ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{x^2}\leqslant  \dfrac{1}{x^3}.

Pour justifier, il n'y a pas grand-chose à faire,    pourquoi on a cette inégalité et quelques phrases en français pour lier le tout.
.
Cela fait un peu plus rédigé, mais vous faites ce que vous voulez.

Posté par
Sandra0711re : fonctions 23-04-22 à 18:22

Un grand merci à vous !
Je reverrai tout ça demain.

Bon we à vous.

Posté par
heklare : fonctions 23-04-22 à 18:32

De rien
Si besoin, à demain.

Posté par
jean3re : fonctions 24-04-22 à 11:05

De retour sur le site je reprends le dernier calcul où je vois un problème de dénominateur. On ne peut "manipuler" les fractions ,dans une somme algébrique,  que si elles ont  le même dénominateur.

\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{2}}=[tex]\frac{1}{x^{3}}-\frac{x}{x^{3}}=\frac{1-x}{x^{3}}
[/tex]

Les deux fractions ont le même dénominateur nous avons pu  écrire:

\frac{1}{x^{3}}-\frac{x}{x^{3}}=\frac{1-x}{x^{3}}

Donc attention le dénominateur ne peut être:    x^{3}-x^{2}
Par contre dans un produit ont multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Que se passe-t-il pour un quotient ?

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !