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Niveau autre
Fonctions complexes
Posté par paulinette
bonjour,
J'essaye de résoudre un exercice, mais j'ai du mal à trouver les bonnes équations.
L'énoncé donne: z=x+iy et exp(z)=ex(cos x +i sin y)
On pose cos (z)=cos(x)ch(y)-i sin(x)sh(y) et sin(z)=sin(x)ch(y)+i cos(x) sh(y).
Je dois trouver l'image par cos et par sin de:
-une droite verticale puis d'une bande verticale
-une droite horizontale puis une bande horizontale
Et ensuite déterminer les domaines d'injectivité de cos et sin. Pour cos, j'ai son domaine d'injectivité.
J'ai vu qu'il y avait des cas particuliers, mais je n'arrive pas à trouver les ensembles rechercher.
Pouvez-vous m'aider?
Merci à tous
Y'a déjà une faute dans l'énoncé (tout du moins celui que tu donnes) :
Avec les notations données, et non cos(x)
Ensuite, pour les images, comme c'est une fonction de dans
, on peut imaginer la représentation graphique comme une application d'un plan dans un plan.
Par exemple, pour la droite verticale et pour la fonction cos, cela revient à étudier la fonction de dans
définit par :
avec x fixé par l'équation de la droite verticale.
Dans le cas général, il est bon de se rappeler que :
Citation :
Connaître une fonction complexe, c'est connaître deux fonctions réelles.
Connaître une fonction complexe, c'est connaître deux fonctions réelles.
Oui, j'ai effectivement fait une erreur dans l'énoncé.
J'ai bien remarqué qu'il fallait étudier cos(z)=cos(x) ch(y)-i sin(x)sh(y), mais là ouù ça me pose problème, c'est que je n'arrive pas à déterminer les ensembles demandés., Je tombe sur des équations qui ne disent rien. Et je ne vois pas comment trouver des équations "explicites"
Peut-être avec du paramétrique, qu'en dis-tu ?
Dans le cas de la droite verticale et de cos toujours.
Je note la fonction définit par :
avec
et
Ainsi, on peut dire que la figure obtenue est la figure constituée des points tels que :
avec
Soit, par parité et imparité : avec
Tiens voilà une équation paramétrique qui me rappelle qqch...
Je te laisse la suite 
(qui s'avère plus complexe pour les "bandes")
Lors de l'écriture des équations paramétriques, il serait plus juste de dire " décrit
" plutôt que seulement
.
Je m'en excuse
Merci beaucoup pour vos indications.
J'ai trouvé que l'image d'une droite verticale par sin et par cos est une hyperbole de foyers -1 et 1.
L'image d'une droite verticale par sin et cos est une ellipse de foyers 1 et-1.
Je trouve bizarre que ce soit les memes ensemble, est-ce normal?
Pour les bandes, je pense qu'on prend l'ensemble des points compris entre 2 hyperboles dans le premier cas et entre deux ellipses dans le second
Par contre pour les points particuliers j'ai du mal a trouver les ensembles. Pour cos, j'ai pour la droite verticale les droites d'équation x=o[pi] et x=(pi/2)[pi] qui posent problemes
je trouve cos z=ch y ou -ch y pour x=0[pi] mais je ne vois pas du tout quel ensemble est défini par cette équation
je trouve cos z=i sh y ou -i sh y pour x=pi/2[pi] et j'ai le meme probleme
Comment procéder?