Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Partager :

Fonctions Lebesgue-intégrables

Posté par
Aurelieen 31-10-16 à 21:18

Bonsoir à tous,

En essayant de montrer que certaines fonctions étaient Lebesgue-intégrables, je me suis heurté à un problème de compréhension.

1. \frac{(\sin{x})^2}{x^2} est Lebesgue-intégrable sur \mathbb{R}
2. \frac{\sin{x}}{x} n'est pas Lebesgue-intégrable sur \mathbb{R}

J'ai du mal à voir ce qui fait la différence entre les deux. Y a-t-il une histoire de convergence absolue là-dessous ou est-ce que cela vient plutôt du fait que (2.) n'est pas positive ?

De même, j'ai noté la proposition suivante :

\forall f, g : \mathbb{R}^N \rightarrow \overline{\mathbb{R}} avec g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N) et \abs{f} \leq g, alors on a f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)

Existe-t-il une fonction g qui permettrait donc de montrer que (1.) est intégrable mais pas (2.) ? Parce que dans ma tête, une fonction pour majorer comme g(x) = 1 fait l'affaire dans les deux cas… Ou dans quelle autre voie puis-je alors m'orienter pour ce faire ?

Merci beaucoup !

Posté par
Aurelieenre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 21:21

(EDIT : Je me rends compte que j'ai oublié la valeur absolue autour de \mid f \mid \leq g dans la proposition que j'ai citée, désolé.)

Posté par
jsvdbre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 21:23

Bonsoir Aurelieen.

Quelle est la définition d'une fonction réelle quelconque intégrable au sens de Lebesgue ?

Posté par
Aurelieenre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 21:32

Si on note f_{+}(x) = max(f(x), 0) et f_{-}(x) = max(-f(x), 0), une fonction quelconque f est intégrable au sens de Lebesgue si f_{+}(x) et f_{-}(x) le sont également.

Si j'ai bien compris, cela revient à dire qu'une fonction réelle quelconque est intégrable au sens de Lebesgue si sa valeur absolue l'est ?

Posté par
jsvdbre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 21:44

Tu viens donc de répondre à ton propre post pour 1. et 2.

Posté par
Aurelieenre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 22:08

La valeur absolue de (2.) n'est donc pas intégrable parce que la valeur de son intégrale n'est pas finie.  J'ai du mal à me l'expliquer, n'y a-t-il pas convergence ?

Posté par
etniopalre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 23:15

\int_{0}^{+\infty}{\frac{|sin(t)|}{t}}dt = +\infty

Posté par
Aurelieenre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 23:23

Merci etniopal, c'est le résultat auquel on s'attend effectivement mais y a-t-il un moyen simple de le montrer ou d'en avoir l'intuition ?

Et surtout, pour montrer qu'une fonction est Lebesgue-intégrable, est-ce qu'on est obligé de passer par le calcul d'une primitive comme c'est le cas ici ? Ça rejoint ma deuxième question du tout premier message sur l'application de la proposition.

Posté par
etniopalre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 23:48

Sur  ]n , (n + 1)]  tu minores 1/t par 1/(n+1)  pour obtenir

  \int_{0}^{+\infty}{\frac{|sin(t)|}{t}}dt  \geq \sum_{n\geq0}^{}{\frac{\int_{0}^{\pi}{sin}}{(n+1)\pi}}

Posté par
etniopalre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 23:55

Pour l'intégrabilité de x   (sin(x)/x)²  :  
  \int_{1}^{+\infty}{\frac{|sin(t)|²}{t²}}dt   \leq  \int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t²}dt}  

Posté par
jsvdbre : Fonctions Lebesgue-intégrables 31-10-16 à 23:55

Il n'y a pas de notion de primitives en Lebesgue.
Ce qui a été écrit n'a pas de sens, ou, plus exactement, il s'agit d'une intégrale généralisée, donc un machin qui s'obtient par passage à la limite dans du Riemann.
Il est assez aisé de passer par Riemann pour démontrer quelques résultats en Lebesgue, mais ça s'arrête là.
La partie positive de sin(x)/x sur R entier n'est pas intégrable, ni sa partie négative. Donc elle n'est pas Lebesgue Intégrable.
Le seul truc que l'on puisse dire de cette fonction, c'est que la fonction notée x \mapsto \int_{0}^{x}{sin(t)/t~dt} converge quand x tend vers +infini. C'est tout.

Cet exemple met simplement en lumière le fait qu'il faille être très à cheval sur les définitions de Lebesgue-Intégrable, Riemann-Intégrable, Intégrales généralisées, semi-convergentes etc etc et de savoir dans tous les cas de quoi l'on parle.

Posté par
Aurelieenre : Fonctions Lebesgue-intégrables 01-11-16 à 00:00

D'accord, merci à vous deux pour vos précisions ; c'est plus clair désormais.

Posté par
jsvdbre : Fonctions Lebesgue-intégrables 01-11-16 à 00:04

Quand à ton second point, il s'agit vraisemblablement du théorème de convergence dominée de Lebesgue.

THEOREME

Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur un espace mesuré (X,T,µ). On suppose que
1/ La suite (f_n) converge µ-p.p. vers une fonction f mesurable.
2/ il existe une fonction g intégrable positive sur E telle que pour tout n entier, on ait |f_n| \leq g µ-p.p.

Alors la fonction f est intégrable et \int f ~d\mu = \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n~d\mu


Rechercher
Menu
Espace membre
14 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1734 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !