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Fonctions trigonométriques

Posté par
Nijiro 23-12-20 à 09:44

Bonjour,
Soit la fonction f définie par: f (x)=\dfrac{tan (x)}{1-2sin(x)}
Montrer qu'on peut restreindre l'étude de f sur: E=]\frac{\pi }{2};\frac{5\pi}{6} [U]\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}[

On a démontré dans une question précédente que I (\frac{\pi}{2};0) est un centre de symétrie de  (Cf)
Alors on peut restreindre l'étude sur: DE=[\frac{pi}{2};+\infty[Df

À savoir: Df=-\{\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5\pi}{6}+2k\pi /k \in Z\}
Mais ça donne pas exactement E. J'ai pensé alors à la périodicité de f...L'amplitude deE est , mais n'est pas une période de f...

Merci d'avance.

***Forum modifié en fonction du profil***

Posté par
Yzzre : Fonctions trigonométriques 23-12-20 à 09:58

Salut,

f est de période 2 : on peut donc étudier f sur un intervalle de longueur 2.
Il suffit de choisir celui-ci centré en /2 : la symétrie fera le reste.

Posté par
Nijirore : Fonctions trigonométriques 24-12-20 à 21:08

Salut,
Si, vous avez raison, elle est de période 2.
Si tel est le cas, on peut alors restreindre  l'étude sur l'intervalle [0;\frac{\pi}{6}[U]\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}[U]\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}[U]\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}[U]\frac{3\pi}{2};2\pi]
Et puisque I est un centre de symétrie de (Cf) alors on peut encore restreindre l'étude de f à:
]\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}[U]\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}[U]\frac{3\pi}{2};2\pi]
Mais quoi faire  de l'intervalle: ]\frac{3\pi}{2};2\pi]?

Posté par
Nijirore : Fonctions trigonométriques 24-12-20 à 21:15

Oups, il suffit de choisir un intervalle de longueur 2 centré en /2 comme vous avez dit ^^. Merci

Posté par
Yzzre : Fonctions trigonométriques 24-12-20 à 22:16

De rien  

Posté par
Nijirore : Fonctions trigonométriques 25-12-20 à 12:54

Salut,
Concernant les variations de cette fonctions sur E, je ne peux pas  déterminer le signe de f'(x).
Quand je calcule f'(x), j'obtiens:
f'(x)=\frac{1+tan^2(x)(1-2sin(x))}{(1-2sin(x))^2}, mais l'encadrement ne me sert de rien.
Une autre expression de f'(x) est: f'(x)= \frac{(1-2sin^3(x))}{cos^2(x)(1-2sin(x))^2}. Celle-ci s'annule en x=sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}), mais cela ne m'aide pas vraiment.


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