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forme quadratique
Bonjour,
Juste une petite question sur le corrigé de l'exercice suivant:
On considère la forme quadratique suivante sur 
4 :
q(x1,x2,x3,x4) = x12 + x22 + 4x42 - 2x1x2 + 4x1x4 + x2x3.
1. Ecrire la matrice A associée à q, déterminer son rang et son noyau.
J'ai bien trouvé la matrice A:
A=
Jusque là, tout va bien.
Ensuite, dans le corrigé, je lis:
Son rang est 3 car on a au moins 3 pivots et la relation 2C1 + 4C3 - C4 = 0.
et là, je ne comprends pas comment on peut affirmer que :
"Son rang est 3 car on a au moins 3 pivots".
Merci de bien vouloir me fournir une explication 
Bonjour,
Si l'on extrait une sous-matrice sur les lignes n° 1, 2 et 3 et sur les colonnes n° 2, 3 et 4, on obtient
que l'on peut facilement échelonner par permutation de lignes et de colonnes.
C'est peut-être ainsi que l'auteur de la solution obtient les trois pivots.
D'accord, j'ai réussi à échelonner de cette sous-matrice,
Mais, du coup, quels sont les trois pivots ?
Bonjour,
Tu as une combinaison linéaire entre 3 colonnes et
de ta matrice :
; ce qui limite le nombre des vecteurs colonnes libres à 3, donc le rang est de 3.
Merci pour ces réponses.
La question 4 est :
4. Déterminer une base orthogonale pour q.
Et après calculs, la fin de la correction est :
Une base orthogonale pour q est donc :
v1 = , v2 =
, v3 =
, v4 =
.
Je comprends bien que c'est une base pour q.
Pourquoi c' est une base orthogonale pour q
une méthode, pas forcément la même que dans ton corrigé :
x² + y² + 4t²- 2xy + 4xt + yz = (x -y +2t)²+y(4t+z )= (x-y+2t)²+(y + 4t + z)²/4-(y-4t-z)²/4
on obtient une base orthogonale pour q en résolvant les systèmes
,
,
,
.
ceci montre que les colonnes C3, C2, C1 dans cet ordre sont échelonnées par rapport à la base canonique, donc forment une famille libre : rang au moins égal à 3
et Razes t'a expliqué pourquoi le rang est au plus égal à 3
sinon pour ta première question, les trois pivots en image :
Merci, j'ai compris pour les 3 pivots
Par contre, je précise ma question suite au corrigé de la question 4.
Si par exemple, on fait le produit scalaire standard des vecteurs v1 et v2, le résultat n'est pas 0, donc la base ne peut pas être une base orthogonale contrairement à ce qui est affirmé dans la correction.
Pourquoi ce que je dis est faux, si c'est le cas ?
parce qu'on ne t'a pas dit que c'était une base orthogonale pour le produit scalaire usuel (que tu appelles standard) mais pour la forme quadratique q ...
parce qu'on ne t'a pas dit que c'était une base orthogonale pour le produit scalaire usuel (que tu appelles standard) mais pour la forme quadratique q ...
D'accord, j'ai enfin compris. Je faisais une grosse confusion
Merci beaucoup pour cette aide très efficace et sympathique
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