Et pourquoi dis-tu que ce résultat est différent de celui donné par ton livre (que tu nous a caché, d'ailleurs ne serait-ce pas ?). A mon avis, ton livre donne le même résultat que toi, sous une forme plus simple !
Déjà, ne peux-tu pas donner une forme plus sympathique à ? Que vaut ?

Ton livre donne peut-être le résultat en fonction de modulo 3 : quel est le résultat si ? si ? si

merci recomics pour ta reponse rapide

oui j''y ai pensé qu'il s'agissait peut etre de la même quantité sauf que je suis pas arriver à le prouver

pour cela donne bien sur mais cela m'avance pas à grand chose pour arriver au resultat du document

je n'ai répondu qu'à ton 1er message car j'ai pas encore entamé la partie congruence

pour le livre je n'ai rien caché. Je penses que la règle du forum est de ne pas faire de pub

de même j'ai pas repris la totalité de l'exercice car avec le latex c'est très lourd et très fatigant pour un retraité comme moi!

merci encore pour l'intérêt

j = (-1/2) + i.(V3)/2 = e^(i.2.Pi/3)

j² =  e^(i.4.Pi/3)  = cos(4Pi/3) + i.sin(4Pi/3) = -1/2 - i.(V3)/2

j^n = e^(i.2n.Pi/3)
j^(2n) = e^(i.4n.Pi/3)

j^(2n) + j^n = e^(i.4n.Pi/3) + e^(i.2n.Pi/3)
j^(2n) + j^n = cos(4n.Pi/3) + cos(2n.Pi/3) + i.[cos(4n.Pi/3) + cos(2n.Pi/3)]

j^(2n) + j^n = 2*cos((2n.Pi/3+4n.Pi/3)/2).cos((4n.Pi/3-2n.Pi/3)/2) + i * (2*sin((2n.Pi/3+4n.Pi/3)/2).cos((4n.Pi/3-2n.Pi/3)/2))

j^(2n) + j^n = 2*cos(n.Pi).cos(n.Pi/3) + i * (2*sin(n.Pi).cos(n.Pi/3))

Or sin(n.Pi) = 0 --> j^(2n) + j^n = 2*cos(n.Pi).cos(n.Pi/3)

j^(2n) + j^n = 2*cos(n.Pi).cos(n.Pi/3)

Il te reste à montrer que 2*cos(n.Pi).cos(n.Pi/3) = 2.cos(n*2Pi/3)

... ce qui est le cas quel que soit n de N

Sauf distraction.  

Je suis arrivé  å ce résultat  et c'est  justement ce que je veux savoir (qu'il s'agit des même quantités  pour tt n)

OK, excuse-moi, je n'avais pas vu ton (***).

Plutôt que le truc lourdaud et assez illisible de J-P, il vaut mieux utiliser . Avec ça et Euler, l'égalité est immédiate, non ?
Ensuite, c'est bien la même chose que le résultat que tu trouves : utiliser que .

Recomic35

Le lourdaud te salue bien.
Et tu devrais apprendre à lire.

J-P, je ne t'ai pas traité de lourdaud, mais je maintiens que ce que tu as écrit est lourdaud.

Et j'ai beau lire, je ne vois pas dans ce que tu as écrit la moindre allusion au fait que , qui fait immédiatement arriver au résultat.

Enfin pour Brahim56, même sans parler de congruence, on peut faire la division euclidienne   avec et remarquer que ,  puisque est racine cubique de l'unité comme tu l'as rappelé dans ton message.

Bonjour J-P,

Je précise que Recomic35 a écrit : Plutôt que le truc lourdaud et assez illisible de J-P (...)

Ensuite, es-tu d'accord que ? Si oui, alors, il vient que et , de sorte que il est immédiat d'avoir



Enfin, tu vois...

Certes, j'ai vu.

Cela n'empêche que ce que j'ai écrit, même si c'est un peu plus long, est tout à fait correct.

Quant à l'illisibilité, c'est de la mauvaise volonté, même si je n'utilise pas Latex.

Cela dit, c'est évident que la solution proposée par Recomics est plus directe.

Comment j'ai pas pensé  à faire un tour 2pi en moins!

Merci à recomic, JP et à vous tous les amis pour vos réponses

Avec plaisir.