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Formule de Cauchy

Posté par
fsqdfc 15-04-20 à 21:41

Bonsoir,
Quelqu'un peut-il m'aider pour cet exercice ? j'ai juste fait le dessin, mais pour montrer l'égalité des intégrales je sais pas comment faire.
Merci d'avance )))))

\begin{array}{l}\text { Soient } a=1-i, b=1+i, c=-1+i \text { et } d=-1-i . \text { On note } \gamma=\sigma_{[a, b]} * \sigma_{[b, c]} * \sigma_{[c, d]} * \sigma_{[d, a]} \\ \text { le bord du carré }(a b c d) \text { parcouru dans le sens direct. Par ailleurs, soit } \alpha \text { le cercle de rayon } \sqrt{2} \text { centré } \\ \text { en } 0, \text { parcouru une fois dans le sens direct. On note } C \text { la courbe de } \alpha \text { . } \\ \text { 1. Soient } z_{1}, z_{2} \in C \text { tels que } z_{1} \neq-z_{2} \text { . La droite }\left(z_{1} z_{2}\right) \text { sépare le plan complexes en deux demi-plan, } \\ P_{0} \text { qui contient l'origine } 0 \text { , et } P \text { qui ne la contient pas. On note } \delta \text { l'arc de cercle } P \cap C \text { délimités } \\ \text { par } z_{1} \text { et } z_{2} \text { , et parcouru de } z_{1} \text { vers } z_{2} \text { . Montrer que } \int_{\left.\sigma_{| z, z_{2}}\right\}} \frac{d z}{z}=\int_{\delta} \frac{d z}{z} \text { . } \\ \text { Indication : faire un dessin et justifier qu'une intégrale sur un certain lacet est nulle. } \\ \text { 2. En déduire } \operatorname{Ind}_{\gamma}(0), \text { puis Ind }_{\gamma}(z) \text { pour tout } z \text { n'appartenant pas au bord du carré (abcd). } \\ \text { 3. Calculer } \int_{\gamma} \frac{\mathrm{e}^{\cos z}}{z} d z \text { et } \int_{\gamma} \frac{z-1}{z-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}} d z\end{array}

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 16-04-20 à 21:08

Personne n'a d'indication ?

Merci 🙏

Posté par
XZ19re : Formule de Cauchy 16-04-20 à 23:13

Bonjour
Il est bizarre cet exo.  Le 1 et le 2 sont évidents. Mais tel que c'est posé on dirait qu'il faut faire abstraction du cours ou plutôt d'une partie du cours.  
C'est pas facile d'aider dans ce cas.  Que sait-on  et que faut-il faire semblant de ne pas savoir?

En tout cas pour le 1)  c'est tout simplement le th de  Cauchy-Goursat.  
  
Pour le 2)  a mon avis  on peut calculer l'indice de 0 et z mais pour \alpha     et grâce au  1)  on retrouve l'indice pour  \gamma \\

Là je suis à peu près sûr que c'est l'intention de celui qui a posé  l'exercice.

Mais  alors pour le 3. c'est le tout simplement le th des résidus mais qui arrivent dans le cours  après  ce qui précède.  

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 17-04-20 à 11:06

Déjà, merci beaucoup pour ta réponse. Mais en fait je sais pas toujours l'utiliser ce théorème de Goursat, surtout dans ce cas. (je pense que c'est juste la question 1 qui me bloque, les autres questions se déduiront de la première, je m'en sortirais beaucoup mieux)

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 17-04-20 à 11:14

Est-ce qu'on a ça ? où faut pas que je l'utilise ? \int_{\sigma_{z_1,z_2}}\frac{dz}{z}}=L(z_2)-L(z_1)=ln|\frac{z_2}{z_1}|+i(arg(z_2)-arg(z_1)) avec L la détermination principale du logarithme L(z)=ln|z|+iarg(z)

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 17-04-20 à 11:56

Après calculs, je trouve \int_{\sigma_[z_1,z_2]}\frac{dz}{z}}=i\frac{\pi}{2}

Mais pour l'intégrale par rapport à \delta je vois pas comment commencer les calculs.

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 17-04-20 à 11:58

Car pour l'intégrale par rapport au cercle unité (donc le cercle DANS le carré (abcd)) est égale à 2i*pi
Mais est-ce qu'on a le même résultat pour l'intégrale par rapport au cercle de rayon \srqt{2} et centre 0 ?

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 17-04-20 à 11:59

rayon racine de 2 pardon..
(dsl pour les nombreux messages mdr)

Posté par
XZ19re : Formule de Cauchy 17-04-20 à 15:06

Bonjour
Pour l'intégrale sur \delta il  faut   paramétrer  \delta  par son argument
\int_{\delta }  dz/z =\int_{t= t_1}^{t_2}   d( exp(i t))/  exp( it)   dt =i(t_2-t_1)

où  t_i=arg(z_i)

On retrouve le même résultat que l'autre intégrale  (penser à simplifier   ln(|z_2|/|z_1|)=0)  

Posté par
fsqdfcre : Formule de Cauchy 18-04-20 à 09:18

ah merci beaucoup pour votre aide !!


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