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formule de stirling

Posté par
Maryeme2002 14-03-21 à 21:09

Bonjour,
on considère la suite (w_k) définie par  qu'il que soit k>=2\sum_{q=2^k^-^1+1}^{2^k}{1/q^2}}  et w_1=5/4.
Montrer que qu'il que soit k>=2, w_k\leq1/2^k^-^1.
montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{w_k})_n_\in_ N_*

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 14-03-21 à 21:10

Maryeme2002 @ 14-03-2021 à 21:09

Bonjour,
on considère la suite (w_k) définie par  qu'il que soit k>=2 w_k=\sum_{q=2^k^-^1+1}^{2^k}{1/q^2}}  et w_1=5/4.
Montrer que qu'il que soit k>=2, w_k\leq1/2^k^-^1.
montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{w_k})_n_\in_ N_*

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 08:50

Bonjour,
Renseigne ton profil s'il te plait. Ton niveau n'y est pas précisé.
Tu postes en Maths-sup ; donc, à priori, tu es en maths-sup.
Si ce n'est pas le cas mais pas très différent, indique quand même maths-sup.

Dès que tu mets ton profil à jour, on déverrouille ton sujet (tu peux mettre un message dans Signaler un problème pour le demander si on ne le voit pas. C'est tout en bas).

Posté par
malou Webmasterre : formule de stirling 15-03-21 à 18:03

Bonjour
le profil est renseigné
le sujet est déverrouillé
bonne suite d'exercice

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 18:23

Pour l'inégalité :
Soit n le nombre de termes de la somme et g le plus grand terme de la somme
wk ng
Cherche n et g et regarde si on peut en déduire l'inégalité.

Il manque la fin de la phrase de la question suivante.

Posté par
lakere : formule de stirling 15-03-21 à 18:24

Bonjour,

  La définition de w_k donne une somme de 2^{k-1}+2 termes dont le plus grand est \dfrac{1}{2^{k-1}-1}

Tu peux exploiter cette piste.

  

Citation :
montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{w_k})_n_\in_ N_*


Là, il y a un problème dans l'énoncé : majorée par 2 peut-être ?

Ton énoncé a pour titre "Formule de Stirling". Je suis intéressé par la suite.
Pourrais-tu la poster ?
Merci d'avance.

Posté par
lakere : formule de stirling 15-03-21 à 18:25

Bonsoir Sylvieg,
Je te laisse la suite

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 18:32

Bonsoir lake,
Je ne trouve pas la même chose que toi.
Le terme écrit derrière le est 1/q2.

Et le premier terme du est \dfrac{1}{(2^{k-1}+1)^{2}}
Ou je me trompe ?

Posté par
lakere : formule de stirling 15-03-21 à 18:41

Pas du tout, tu ne te trompes pas : j'ai cafouillé de a à z. même avec le nombre de termes : j'avais écrit pour la borne inférieure de la somme q=2^{k-1}{\red -}1
Décidément, je te laisse poursuivre ...

Posté par
lakere : formule de stirling 15-03-21 à 18:49

Sans parler de l'oubli du carré !
Pfff... je vais me cacher ...

Posté par
DOMOREAformule de stirling 15-03-21 à 19:00

bonjour,
il y a 2^{k-1} termes dans W_k
et je suis d'accord avec Sylvieg une majoration grossière M de W_k par 2^{k-1}g où g est le plus grand termes donc le premier suffit à démontrer que W_k<M<\frac{1}{2^{k-1}}
je pense que pour la question suivante il manque "est convergente".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 19:05

Bonjour DOMOREA
Et si on attendait que Maryeme2002 se remanifeste avant de tout lui dévoiler ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 19:08

C'est vrai que Maryeme2002 risquait de lire le nombre de termes donné par lake sans voir qu'il le signale faux ensuite.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 20:27


Il manque la fin de la phrase de la question suivante.
Maryeme2002 @ 14-03-2021 à 21:09


montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{w_k})_n_\in_ N_*
converge

* Modération >  Message raccourci

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 20:31

lake @ 15-03-2021 à 18:24

* Citation raccourcie *
Ton énoncé a pour titre "Formule de Stirling". Je suis intéressé par la suite.
Pourrais-tu la poster ?
Merci d'avance.

le problème est un petit peu long , voulez vous que je l'écrit?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 20:42

Tu peux l'écrire si tu as le temps.
Commence par essayer de traiter la première question avec les indications qui t'ont été données.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 21:10

le nombre de termes est n = 2^k^-^1
et le plus grand élément est g =\frac{1}{(2^k^-^1-1)^2} donc  g.n=2^k^-^1/(2^k^-^1+1)^2

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 21:21

Maryeme2002

Maryeme2002 @ 15-03-2021 à 21:10

le nombre de termes est n = 2^k^-^1
et le plus grand élément est g =\frac{1}{(2^k^-^1-1)^2}
alors ng= \frac{2^k-^1)}{(2^k^-^1+1)^2}

et \frac{1}{2^k^-^1}[tex]\geq \frac{2^k-^1}{(2^k-^1+1)^2}
[/tex]
donc w_k\leq ng\leq \frac{1}{2^k^-^1}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 15-03-21 à 21:45

Oui, mais peut-être justifier un peu :
a) Le nombre de terme.
b) Pourquoi le 1er terme est le plus grand.

c) Pourquoi \; \dfrac{2^{k-1}}{(2^{k-1}+1)^{2}} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 22:06

le problème complet,
1  on considère la suite définie par quelque soit n\inN*, S_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}.
on considère la suite (w_k) définie par  qu'il que soit k>=2  \sum_{q=2^k^-^1+1}^{2^k}{1/q^2}}  et w_1=5/4.
a    Montrer que qu'il que soit k>=2,   w_k\leq1/2^k^-^1.
b    montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{w_k})_n_\in_ N_* converge, n note M sa limite.
c     montrer que la suite (S_2_^n)_n_\in_ N* est majorée par M.
En déduire que (S_n)_n\inN* est convergente.

2    On ppose pour tout n\inN, U_n=\frac{n^ne^-^n\sqrt{n}}{n!} et   v_n =ln(\frac{U_n_+1}{U_n})

a    Montrer que vv_n=O(\frac{1}{n^2})

b    Montrer que la suite (\sum_{k=1}^{n}{v_k})_n_\in _N*
converge.
c     En déduire que la suite (U_n)_n_\in_N* converge.
3     Pour tout n \in N on pose I_n=\int_{0}^{\pi/2 }{sin^n(x) dx}
a      Donner une expression explicite de I_npour tout n\inN
b      En déduire que \lim_{p->+\infty }\frac{1}{p}(\frac{2p(2p-2)....2}{(2p-1)(2p-3)...1})^2=\pi

c      Montrer que I_n~\sqrt{\frac{\pi }{2n}}
d      En déduire la limite de(U_n)_\in_N
e      Cnclure.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 15-03-21 à 22:16

* Modération > Citations inutiles effacées. *

b) on a (2^k^-^1+1)^2 est la plus petite  valeur de q alors son inverse est le plus grand élément de la suite
a) n = 2^k-(2^k-^1+1)+1=2^k-^1
c) j ai fait la différence de 1/(2^k^-^1) et ng,  donne  2^k+1/(2^k^-^1+1)^2 qui est positif

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 16-03-21 à 07:18

Merci pour l'énoncé

Évite de citer les messages quand ce n'est pas nécessaire ; ça rend la lecture du topic difficile.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 16-03-21 à 12:30

D'accord  

Posté par
lakere : formule de stirling 16-03-21 à 15:46

Merci aussi pour l'énoncé, Maryeme2002

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 16-03-21 à 16:38

je vous en prie .

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 16-03-21 à 19:00

s'il vous plaît une idée pour la question 1 b  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 16-03-21 à 19:09

Démontre que la suite est croissante et majorée.

PS J'ai rectifié les balises "tex" dans l'énoncé. Pense à faire "Aperçu" avant de poster.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 16-03-21 à 19:39

D'accord,
J'ai fait la différence de W_netW_n_+_1 c'est 1/(2^n+1)^2 alors la suite est croissante .
On a W_k< 1/2^k^-^1   donc (\sum_{k=1}^{n}{w_k}} )\leq{\sum_{k=1}^{n}{(1/2^k^-^1)}} =2(1-(1/2)^n) Or lim (1/2)^n = 0 donc la sute converge vers 2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 17-03-21 à 07:15

Bonjour,
Tu as écrit un peu n'importe quoi hier.
Il s'agit de la suite définie par S_n = \sum_{k=1}^{n}{w_k}
Donc de la différence entre S_{n+1} - S_{n} et pas entre wn+1 et wn.

Ensuite, la suite (S_n) ne converge pas vers 2. Elle est majorée par 2.

Posté par
Maryeme2002re : formule de stirling 17-03-21 à 10:45

Je m'excuse ,j'ai pas fait attention .

Posté par
lakere : formule de stirling 17-03-21 à 15:03

Bonjour,

Juste une petite remarque pour 1)b).

La formule donnant w_k n'est valable que pour k\geq 2.
Elle donnerait w_1=\dfrac{1}{4} alors que pour se raccrocher à S_{2^n}, il faut qu'on aie:

    w_1=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{5}{4} comme précisé dans l'énoncé.

  Du coup, on obtient plutôt une majoration par \dfrac{9}{4} au lieu de 2.

Sauf nouvelle erreur de ma part.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : formule de stirling 17-03-21 à 16:13

Bien vu


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