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G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini

Posté par
gorilledeter 22-01-17 à 13:36

Bonjour,
si on a un groupe G fini donc toute partie de G est fini d'ou l'ensemble des sous groupe est fini hein ?
mais pour la réciproque je vois pas comment faire : (

Posté par
gorilledeterre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 13:41

up

Posté par
ThierryPomare : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 13:51

Bonjour,

Quels sont les sous-groupes de \Bbb{U}=\left\{z:z\in{\C}\text{ et }|z|=1\right\} ?

Posté par
ThierryPomare : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 14:02

Non ! Considérer

\Bbb{U}_n=\left\{\exp\left(\dfrac{2\,k\,i\,\pi}{n}\right):k\in\N\text{ et }0\leqslant{k}\leqslant{n-1}\right\}\text{ et }\Bbb{U}_{\infty}=\bigcup_{n\geqslant1}\Bbb{U}_n

Posté par
DOMOREAre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 14:21

bonjour thierryPoma,
Je ne comprends pas le sens de ta réponse, Gorilledeter veut montrer que si l'ensemble S des sous-groupes H d'un groupe G est fini alors G est fini.

Posté par
ThierryPomare : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 14:27

Bonjour Domorea,

Citation :
L'ensemble S des sous-groupes H d'un groupe G est fini alors G est fini


Effectivement, j'avais mal lu. La fièvre peut-être. Désolé !

Posté par
carpediemre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 15:03

salut

hypothèse : l'ensemble des sous-groupes d'un groupe G est fini


1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde

donc tous les sous-groupes de G sont (d'ordre) fini(s)

2/ G est réunion fini de sous-groupes finis donc G est fini

Posté par
gorilledeterre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 22-01-17 à 18:21

j'adore ce forum

Posté par
luzakre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 08:19

Bonjour carpediem

Citation :

1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde

Dans le groupe infini multiplicatif  G=\{z\in\U,\;\exists n\in\Z,\;z^n=1\} je ne vois pas d'élément h d'ordre infini.

Posté par
ThierryPomare : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 08:39

Bonjour,

Certes, mais l'on peut écrire que G=\bigcup_{g\in{G}}<g> et , comme l'ensemble des sous-groupes de G est fini, il existe donc un ensemble fini I\subset\N et une famille finie (g_i)_{i\in{I}}\subset{G} tel que G=\bigcup_{i\in{I}}<g_i>. Après, l'on connaît la suite !

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 09:48

Bonjour à tous.
Je propose ceci :
On suppose que G est d'ordre infini. On veut montrer que le cardinal de l'ensemble de ses sous-groupe est infini. Soit \mathfrak H l'ensemble de ses sous-groupes.
On considère l'application \varphi : G \rightarrow \mathfrak H; \varphi(g) = \{ng / n \in \Z\}.
Ma conjecture : \varphi est injective.
Pour cela distinguer trois cas pour g \neq g'
\varphi(g) est d'ordre fini et \varphi(g') est d'ordre infini : c'est trivial
\varphi(g) et \varphi(g') sont tous deux d'ordre infini : n = 1 doit convenir
\varphi(g) et \varphi(g') sont tous deux d'ordre fini : écrire qu'il existe un n tel que ng = g' et aboutir à une absurdité.
Conclure sur le cardinal de G.

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 09:50

Erratum : Conclure sur le cardinal de \mathfrak H d'après celui de G.

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 10:20

Complément :

\varphi(g) et \varphi(g') sont tous deux d'ordre fini : écrire qu'il existe un n tel que (ng = g') et qu'il existe un n' tel que (n'g' = g) et aboutir à une absurdité.

Parce que tel que je l'ai écrit, Luzak va m'opposer le même contre-exemple ...

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 10:31

On va dire les choses plus simplement :

\varphi(g) et \varphi(g') sont tous deux d'ordre fini :

- Si l'un n'est pas inclus dans l'autre, alors c'est encore OK

- Il suffit donc de montrer que si l'un est inclus dans l'autre, alors ils ne peuvent être égaux.

Posté par
gorilledeterre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 12:39

vous êtes en quelle année ?
ceux qui répondent

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 12:43

Bonne question : la 42ème en ce qui me concerne ...

Posté par
gorilledeterre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 14:43

jsvdb @ 23-01-2017 à 12:43

Bonne question : la 42ème en ce qui me concerne ...

je parlais d'année d'étude

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 14:50

J'avais compris.
Si on parle que de maths : c'est marqué sur mon pseudo - niveau master ... mais c'est plutôt un niveau estimé à la où je me suis arrêté : DEA pour être précis. Je ne suis pas enseignant, pas en reprise d'études, pas agreg, pas capes, pas de concours, bref ! rien des options couramment proposées par le site ... juste passionné par la matière

Posté par
carpediemre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 19:21

carpediem @ 22-01-2017 à 15:03

salut

hypothèse : l'ensemble des sous-groupes d'un groupe G est fini


1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde

donc tous les sous-groupes de G sont (d'ordre) fini(s)

2/ G est réunion fini de sous-groupes finis donc G est fini



luzak @ 23-01-2017 à 08:19

Bonjour carpediem
Citation :

1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde

Dans le groupe infini multiplicatif  G=\{z\in\U,\;\exists n\in\Z,\;z^n=1\} je ne vois pas d'élément h d'ordre infini.


certes ... mais il possède une infinité de sous-groupes ...

Posté par
luzakre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 23-01-17 à 23:20

Désolé mais je ne vois pas en quoi "il n'y a qu'un nombre fini de sous-groupes" implique " si un sous-groupe est d'ordre infini il y a aussi un élément d'ordre infini "...

Posté par
ThierryPomare : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 08:08

Bonjour,

Suite à mon message du 23-01-17 à 08:39 et de mon boulot: Écrivons que

G=\bigcup_{g\in{G}}<g>

Or, par hypothèse, l'ensemble des sous-groupes de G est fini. Donc il existe nécessairement un ensemble fini d'indices I\subset\N et une famille (g_{\iota})_{\iota\in{I}}\subset{G} tels que

G=\bigcup_{\iota\in{I}}<g_{\iota}>

De plus, l'existence d'un \alpha\in{I} au moins tel que <g_{\alpha}>\simeq\Z entrainerait du coup que <g_{\alpha}> admettrait autant de sous-groupes que dans \Z, i.e. une infinité dénombrable (nous les connaissons tous !) ; ce qui nous conduirait inévitablement à une contradiction. Comme l'on vient d'établir que <g_{\iota}> est nécessairement fini pour tout \iota\in{I}, il s'ensuit que G l'est aussi. Est-ce correct ?

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 09:38

Bonjour ThierryPoma.
Je suis d'accord.
Et sauf erreur, ce que tu proposes trouve une formulation équivalente dans ce que je propose le 23-01-17 à 09:48 et suivants. Peut-être ta preuve propose moins de cas que moi, puisque l'existence d'un seul monogène infini mets ce sous-groupe en isomorphie (magnifique expression !!) avec \Z, lequel possède une infinité de ss-groupe.
Du coup, je te retourne la question : ce que j'ai fait te paraît-il correct ? (indépendamment du fait que ce soit un petit plus lourd que ce que tu as fait !) Merci à toi pour ta réponse.

Posté par
carpediemre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 16:36

oui effectivement c'est plus mieux bien ... comme le dit ThierryPoma et permet de répondre à l'argument de luzak mais c'est exactement ce quoi t'est-ce que je voulions dire ...


et donc j'aurais du plutôt l'écrire différemment :

hypothèse : G possède un nombre fini de sous-groupes

1/ si <g> n'est pas fini alors il est isomorphe à Z et contient une infinité de sous-groupes donc G aussi : contradiction

2/ G est l'union fini (par hypothèse sur G) des <g> qui sont finis



cependant il reste quand même une question en suspend :

si <g> \simeq \Z quel est l'ordre de g ?

Posté par
etniopalre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 16:49

Quel est l'ordre de 1 dans ?

Posté par
carpediemre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 16:55

il est infini ...

Posté par
jsvdbre : G est fini SSi l'ensemble des sous groupe est fini 24-01-17 à 16:59

carpediem @ 22-01-2017 à 15:03

salut

hypothèse : l'ensemble des sous-groupes d'un groupe G est fini


1/ si G possède un sous-groupe H d'ordre infini alors il existe un élément h de H d'ordre infini et alors <h> est isomorphe à Z qui possède une infinité de sous-groupes ... tout comme G : absurde

donc tous les sous-groupes de G sont (d'ordre) fini(s)

2/ G est réunion fini de sous-groupes finis donc G est fini


luzak @ 23-01-2017 à 08:19


Dans le groupe infini multiplicatif  G=\{z\in\U,\;\exists n\in\Z,\;z^n=1\} je ne vois pas d'élément h d'ordre infini.


Après relecture attentive du fil, il ressort deux choses  :

1/ Ce que j'ai surligné en rouge fait que l'objection ne tient pas puisque le G ne répond pas à la condition, et qu'en plus il a une infinité de sous-groupe, ce qui est contraire à l'hypothèse faite sur G par Carpediem.

2/ Le problème est résolu après le post de Carpediem 22-01-2017 à 15:03 ... et il était inutile de continuer ... ThierryPoma n'ayant fait qu'expliciter ledit post et moi-même proposant une formulation via une application.


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